Math

Diferansiyel ve integral hesap · Riemann toplamı

Riemann toplamı

Riemann toplamı, [a, b] parçaları üzerinde f(xᵢ*)·Δx değerlerini toplar: yükseklikleri örneklenen f değerleri olan dikdörtgenlerin işaretli alanları. Parçalar inceldikçe integrallenebilir fonksiyonun toplamları belirli integrale yaklaşır.

01

Bu görselleştirmede Riemann toplamı

Riemann toplamı, ff fonksiyonunun [a,b][a, b] üzerindeki integraline yaklaşır. Aralığı [xi−1,xi][x_{i-1}, x_i] alt aralıklarına ayırın, her birinde xi∗x_i^* örnek noktasını seçip f(xi∗) Δxif(x_i^*)\,\Delta x_i toplamını alın. Sayfa nn eşit alt aralık kullanır; her parça aynı genişliktedir:

Riemann toplamı
Sn=∑i=1nf(xi∗) Δx,Δx=b−an.S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{n}.

Genel tanım farklı genişlikte alt aralıklara ve her birinde herhangi örnek noktasına izin verir; en geniş alt aralık λ=max⁡Δxi\lambda = \max \Delta x_i sıfıra giderken limit alınır. Buradaki gibi eşit alt aralıklarda λ→0\lambda \to 0, n→∞n \to \infty ile aynıdır.

Her sarı dikdörtgen bir alt aralık üzerinde durur ve eğrideki sarı nokta f(xi∗)f(x_i^*) yüksekliğine uzanır. SnS_n, onların işaretli alanlarını toplar: x ekseni altındaki dikdörtgen negatif sayılır; dikdörtgen eğrinin üstüne taşabilir veya altında kalabilir. Kural örnek noktasını belirler: sol uç xi−1x_{i-1}, sağ uç xix_i veya orta nokta. Yamuk toplamı bunun yerine f(xi−1)f(x_{i-1}) ve f(xi)f(x_i) noktalarını kirişle bağlar; sol ve sağ toplamın ortalamasıdır:

Yamuk toplamı
Tn=∑i=1nf(xi−1)+f(xi)2 Δx=Ln+Rn2.T_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}\,\Delta x = \frac{L_n + R_n}{2}.

n → ∞, nn değerini adım adım iki katına çıkararak n=256n = 256 değerine götürür; her parça ikiye bölünür (nn ikinin bir kuvveti değilse ilk adım ikinin sonraki kuvvetine çıkar). İntegrallenebilir fonksiyonda toplamlar, mavi gösterilen belirli integrale yaklaşır:

Belirli integral
∫abf(x) dx=lim⁡n→∞Sn=F(b)−F(a).\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n = F(b) - F(a).

Sayfa integrali büyük nn içeren toplamdan değil, FF ilkel fonksiyonundan tam olarak alır; hata, SnS_n eksi bu değerdir.

02

Dikkat edilecekler

  • Alan işaretlidir. f<0f < 0 iken parça x ekseni altında sarkar; çizgilidir ve negatif sayılır. [0,2π][0, 2\pi] üzerinde sin⁡x\sin x fonksiyonunun iki kemeri birbirini götürür; integral 0'dır.
  • Artan fonksiyonda sol toplam fazla küçük, sağ toplam fazla büyüktür; azalan fonksiyonda tersi olur. İntegral ikisinin arasındadır.
  • Hatanın küçülme hızı kurala bağlıdır. Düzgün fonksiyon ve büyük nn için sol ve sağ hatalar C/nC/n, orta nokta ve yamuk hataları C/n2C/n^2 gibi davranır; her ikiye katlama sonunda onları yarılar veya dörtte bire indirir. Başlarda katsayı farklı olabilir ([0,1][0, 1] üzerinde x2x^2 ilk sol toplamları için 1.6). Baş terim yok olduğunda hata daha hızlı düşer: [−1,1][-1, 1] üzerinde x2x^2 için sol ve sağ hatalar zaten 1/n21/n^2 gibidir. Okuma çubuğundaki hata grafiğinin iki ölçeği logaritmiktir; katsayı her çizginin eğimi olarak görünür: taban 2 logaritması, 2 katsayısı için eğim 1, 4 için eğim 2. Baş terimin yok olduğu durumlar dışında sol ve sağ hafif, orta nokta ve yamuk yaklaşık iki kat dik düşer.
  • Orta nokta ve yamuk hataları genellikle zıt işaretlidir. f(x)=x2f(x) = x^2 için orta nokta hatası her nn için yamuk hatasının tam −12-\tfrac12 katıdır.
  • İntegral tanımı eşit olmayan parçalara ve her birinde herhangi örnek noktasına izin verir; burada çizilen, sabit kurallı eşit parçalar özel durumudur. En geniş parça 0'a küçülürken bu seçimlerin hepsinde limit aynı olmalıdır.
  • Kesin anlamıyla yamuk toplamı Riemann toplamı değildir (parça başına tek örnek noktası yoktur); fakat sol ve sağ toplamın ortalaması olduğundan aynı limite sahiptir. Sayısal integrasyondaki dikdörtgen ve yamuk kuralları bu toplamlardır.
03

Kontroller

  • x=ax = a ve x=bx = b noktalı çizgilerini veya alt kenardaki işaretlerini sürükleyin; Aralık altındaki iki çarkı çevirin veya uçları yazın: π, 2π, π/2 ve e anlaşılır. Çarkların altındaki tuşlar tam değerlere götürür.
  • Kural tuşları örnek noktasının yerini seçer; her tuşun altında o kuralın mevcut nn için toplamı ve hatası yer alır, dördü bir bakışta karşılaştırılabilir. Toplam ile integral arasındaki grafik dört kuralın da nn değerine göre hata büyüklüğünü gösterir.
  • Düğme nn değerini 1, 2, 4 … 256 olarak ayarlar; her ikiye katlamada bir durak vardır. Ok tuşları sonraki durağa gider. 10 000'e kadar diğer nn değerleri yazılabilir. n → ∞, nn değerini adım adım 256'ya kadar iki katına çıkarır (önce ikinin sonraki kuvvetine) ve orada kalır; 256'da basınca 1'den başlar. Sunum modu, projektörler için tam ekran görünümü açar (Boşluk n → ∞ işlemini çalıştırır, ← → n'yi yarılar ve ikiye katlar, H yanıtları gizler).
04

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Riemann sum (İngilizce); OpenStax, Calculus Volume 1, 5.1 Approximating Areas (İngilizce); OpenStax, Calculus Volume 2, 3.6 Numerical Integration (İngilizce).