리만 합: 인터랙티브 시각화

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이 시각화에서 살펴보는 리만 합

리만 합은 $[a, b]$ 에서 $f$ 의 적분을 근사합니다. 구간을 부분구간 $[x_{i-1}, x_i]$ 로 나누고, 각각에서 표본점 $x_i^*$ 를 골라 $f(x_i^*)\,\Delta x_i$ 을 모두 더합니다. 이 페이지는 같은 크기의 부분구간 $n$ 개를 사용하므로 모든 조각의 폭이 같습니다.

리만 합

S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \qquad \Delta x = \frac{b-a}{n}.

일반적인 정의에서는 부분구간의 폭이 달라도 되고 각 구간에서 아무 표본점이나 고를 수 있으며, 가장 넓은 부분구간의 폭 $\lambda = \max \Delta x_i$ 이 0으로 갈 때의 극한을 취합니다. 여기처럼 폭이 같으면 $\lambda \to 0$ 과 $n \to \infty$ 는 같습니다.

각 노란 직사각형은 하나의 부분구간 위에 서서 곡선 위의 노란 점 $f(x_i^*)$ 까지 닿습니다. $S_n$ 은 이들의 부호 있는 넓이를 더하므로 x축 아래의 직사각형은 음수로 셉니다. 직사각형은 곡선 위로 튀어나오거나 못 미칠 수 있습니다. 규칙에 따라 표본점을 왼쪽 끝점 $x_{i-1}$ , 오른쪽 끝점 $x_i$ , 중점에 놓습니다. 사다리꼴 합은 대신 $f(x_{i-1})$ 과 $f(x_i)$ 를 현으로 잇고, 왼쪽 합과 오른쪽 합의 평균과 같습니다.

사다리꼴 합

T_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2}\,\Delta x = \frac{L_n + R_n}{2}.

n → ∞는 $n$ 를 단계마다 두 배로 늘려 $n = 256$ 까지 진행하므로 조각마다 둘로 나뉩니다( $n$ 가 이의 거듭제곱이 아니면 처음에는 다음 거듭제곱으로 올립니다). 적분 가능한 함수에서 합은 파란색으로 표시한 정적분에 가까워집니다.

정적분

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} S_n = F(b) - F(a).

페이지는 큰 $n$ 의 합으로 적분값을 추정하지 않고, 원시함수 $F$ 에서 정확하게 구합니다. 오차는 $S_n$ 에서 그 값을 뺀 것입니다.

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살펴볼 점

넓이에는 부호가 있습니다. $f < 0$ 인 곳의 조각은 x축 아래에 있으며 빗금을 치고 음수로 셉니다. $[0, 2\pi]$ 에서 $\sin x$ 의 두 아치는 상쇄되어 적분값이 0입니다.
증가함수에서는 왼쪽 합이 작고 오른쪽 합이 큽니다. 감소함수에서는 반대입니다. 적분값은 두 합 사이에 있습니다.
오차가 줄어드는 속도는 규칙에 따라 다릅니다. 매끄러운 함수와 큰 $n$ 에서 왼쪽·오른쪽 오차는 $C/n$ , 중점·사다리꼴 오차는 $C/n^2$ 처럼 변합니다. 따라서 충분히 진행하면 부분구간 수를 두 배로 늘릴 때마다 오차가 절반 또는 사분의 일로 줄어듭니다. 초기에는 비율이 다를 수 있습니다( $[0, 1]$ 에서 $x^2$ 의 첫 왼쪽 합들은 1.6배). 선도항이 상쇄되면 더 빠르게 줄어듭니다. $[-1, 1]$ 에서 $x^2$ 의 왼쪽·오른쪽 오차는 이미 $1/n^2$ 처럼 변합니다. 읽음값 막대의 오차 그래프는 두 축 모두 로그 눈금이므로 감소 배율이 각 선의 기울기에 나타납니다. 밑이 2인 로그로, 배율이 2면 기울기 크기가 1이고 배율이 4면 2입니다. 선도항이 상쇄되는 경우를 제외하면 왼쪽·오른쪽은 완만하게, 중점·사다리꼴은 약 두 배 가파르게 내려갑니다.
중점 오차와 사다리꼴 오차는 보통 부호가 반대입니다. $f(x) = x^2$ 에서는 모든 $n$ 에 대해 중점 오차가 사다리꼴 오차의 정확히 $-\tfrac12$ 입니다.
적분의 정의에서는 조각의 크기가 달라도 되고 각 조각에서 아무 표본점이나 골라도 됩니다. 여기서 그린 등간격 분할과 고정 규칙은 특별한 경우입니다. 가장 넓은 조각의 폭이 0으로 줄어들 때 모든 선택에서 같은 극한이 나와야 합니다.
엄밀히 말하면 사다리꼴 합은 조각마다 하나의 표본점을 고르는 것이 아니므로 리만 합은 아닙니다. 하지만 왼쪽 합과 오른쪽 합의 평균이므로 극한은 같습니다. 수치 적분의 직사각형법과 사다리꼴법이 바로 이 합들입니다.

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조작 방법

점선 $x = a$ , $x = b$ 이나 아래쪽 가장자리의 표시를 드래그하고, 구간 아래의 두 휠을 돌리거나, 끝점을 입력하세요. π, 2π, π/2, e도 인식합니다. 휠 아래의 버튼은 정확한 값으로 설정합니다.
규칙 버튼은 표본점의 위치를 고릅니다. 각 버튼 아래에는 현재 $n$ 에서의 합과 오차가 있어 네 규칙을 한눈에 비교할 수 있습니다. 합과 적분값 사이의 그래프는 네 규칙의 $n$ 에 따른 오차 크기를 보여 줍니다.
노브는 $n$ 를 1, 2, 4 … 256으로 설정하며, 한 칸마다 두 배가 됩니다. 방향키는 다음 칸으로 이동합니다. 다른 $n$ 도 10 000까지 입력할 수 있습니다. n → ∞는 $n$ 를 단계마다 두 배로 늘려 256까지 진행한 뒤 멈춥니다(처음에는 다음 이의 거듭제곱으로). 256에서 누르면 1부터 다시 시작합니다. 발표 모드는 프로젝터용 전체 화면을 엽니다(Space로 n → ∞ 실행, ← →로 n을 절반·두 배로, H로 정답 숨기기).

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이 시각화에서 살펴보는 리만 합

살펴볼 점

조작 방법

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