Medan Kemiringan: Visualisasi Interaktif

Medan kemiringan dalam visualisasi ini

Persamaan diferensial orde satu $y' = f(x, y)$ menentukan kemiringan di setiap titik bidang. Medan kemiringannya (juga disebut medan arah) menggambar kemiringan itu sebagai ruas pendek pada setiap titik kisi. Solusi adalah fungsi terdiferensialkan $y(x)$ yang grafiknya menyinggung ruas di mana-mana; masalah nilai awal mencari solusi melalui titik yang diberikan $P = (x_0, y_0)$ . Jika f kontinu dan Lipschitz lokal terhadap y, tepat satu solusi melalui tiap titik pada suatu interval x — sehingga kemiringan saja menentukan setiap solusi.

Seret P dan seluruh kurva yang melaluinya bergerak kontinu (pada setiap interval tertutup tempat solusi ada). Untuk delapan persamaan prasetel, kurvanya adalah solusi bentuk tertutup; untuk persamaan yang Anda ketik, kurva dihitung secara numerik dengan metode Runge–Kutta adaptif (Dormand–Prince 5(4), toleransi relatif $10^{-8}$ ). Jika y′ hanya bergantung pada x, solusi berbeda sebesar konstanta: $+C$ adalah pergeseran vertikal. Jika hanya bergantung pada y, nol f adalah solusi keseimbangan horizontal, dan solusi di antara dua keseimbangan bertetangga adalah pergeseran horizontal satu sama lain.

Metode Euler, langkah h

y_{k+1} = y_k + h\, f(x_k, y_k), \qquad x_{k+1} = x_k + h

Metode Euler mengikuti kemiringan yang dibaca pada titik saat ini selama satu langkah sepanjang h, lalu membaca lagi. Di sini metode berjalan dari P ke ujung X (langkah terakhir diperpendek agar tepat di X). Untuk solusi mulus, galat di X kira-kira sebanding dengan h: tombol merah membagi dua h tingkat demi tingkat, dan setiap pembagian dua kira-kira membagi dua galat, sehingga rasio galat berurutan menuju 2.

Hal yang perlu diperhatikan

Ruas-ruas sama panjang dan tanpa kepala panah: hanya kemiringannya yang bermakna. Medan kemiringan adalah medan vektor $(1, f)$ dengan panjang setiap panah diabaikan.
Solusi tidak harus ada untuk setiap x. Untuk $y' = y^2$ , solusi melalui (0, 1) adalah $1/(1-x)$ , yang membesar tanpa batas saat x mendekati 1; halaman menghentikannya pada garis putus-putus dan tidak pernah menyambungkannya ke cabang lain. Untuk $y' = -x/y$ , solusi melalui (0, 2) adalah setengah lingkaran yang berakhir saat kemiringannya menjadi vertikal. Euler tetap menghasilkan angka setelah titik demikian; nilai solusi lalu ditandai tidak ada.
Tanpa syarat Lipschitz, solusi tidak harus tunggal: $y = 0$ dan $y = x^3$ sama-sama menyelesaikan $y' = 3y^{2/3}$ melalui (0, 0), begitu pula kurva mana pun yang diam pada y = 0 beberapa saat lalu meninggalkannya. Metode Euler dari (0, 0) tetap di 0 pada setiap ukuran langkah.
Isoklin adalah kurva tempat kemiringan konstan, $f(x, y) = c$ ; sepanjang masing-masing, ruas-ruas sejajar, dan itulah cara membuat sketsa medan kemiringan dengan tangan. Dengan h = π/n, Euler pada $y' = \cos x$ dari (0, 0) ke π menghasilkan tepat h.

Kontrol

Klik ruang kosong untuk menambahkan solusi lain (maksimal enam); yang terakhir disentuh adalah P, titik awal Euler. Saat Geser tampilan aktif, menyeret menggeser gambar sebagai gantinya.
Seret ▲ pada sumbu x, atau putar rodanya, untuk menggeser ujung Euler X. Tombol merah memulai dari h saat ini; di akhir proses dimulai lagi dari h = 1. Jendela Catatan pendekatan mengumpulkan nilai, galat, dan rasio tiap tingkat, bahkan saat tertutup.

Terkait

Metode Euler pada $y' = y$ dari (0, 1) ke 1 memberikan $(1 + h)^{1/h}$ , faktor bunga majemuk. Sistem dua persamaan digambar sebagai potret fase.

D05Turunan
D18Teorema dasar kalkulus
E22Medan vektor
G07Potret faseDirencanakan
A11Bunga majemuk

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Slope field (Bahasa Inggris); OpenStax, Calculus Volume 2, 4.2 Direction Fields and Numerical Methods (Bahasa Inggris).