Bunga Majemuk: Visualisasi Interaktif

01

Bunga majemuk dalam visualisasi ini

Bunga majemuk adalah bunga yang dibayarkan atas bunga: tiap pembayaran ditambahkan ke saldo dan sejak itu ikut menghasilkan bunga. Pada suku bunga tahunan $r$ yang dibayarkan $n$ kali setahun, setiap pembayaran menambahkan $r/n$ dari saldo, sehingga setelah $t$ tahun, pokok $P$ telah bertumbuh menjadi $P\,(1 + r/n)^{\lfloor nt \rfloor}$ , dengan $\lfloor nt \rfloor$ jumlah pembayaran yang telah dilakukan (tepat $P\,(1 + r/n)^{nt}$ pada waktu pembayaran). Pemajemukan per periode juga ditulis $y = a(1 + r)^{x}$ , dengan $a$ pokok, $r$ suku bunga per periode, dan $x$ jumlah periode; di sini suku bunga per periode adalah $r/n$ dan satu tahun memiliki $n$ periode. Halaman ini mengikuti pokok sebesar 1 selama satu tahun dan memungkinkan $n$ dari 1 hingga sejuta pada penggeser; nilai yang diketik dapat mencapai 100 juta.

Tangga kuning adalah saldo: datar di antara pembayaran, naik satu langkah setiap pembayaran. Tanda merah di bawah menunjukkan waktu pembayaran, berjarak 1/n tahun. Pada akhir tahun, tangga telah mencapai

Saldo setelah satu tahun

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}.

Saat $n$ meningkat, anak tangga menjadi lebih kecil dan lebih sering, dan saldo akhir tahun meningkat — tetapi tidak membesar tanpa batas. Saldo mendekati kurva biru, pemajemukan kontinu:

Limitnya

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n} = e^{r}, \qquad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e = 2.718281828\ldots

Pada $r = 100\%$ , limitnya adalah bilangan $e$ itu sendiri; ini salah satu definisi bakunya. Kurva biru adalah $e^{rt}$ , saldo saat bunga dikreditkan secara kontinu.

02

Hal yang perlu diperhatikan

Saldo akhir tahun selalu meningkat bersama $n$ dan selalu di bawah $e^{r}$ . Untuk $n$ besar, selisihnya sekitar $e^{r} r^{2} / (2n)$ , jadi pembayaran sepuluh kali lebih banyak menyisakan sekitar sepersepuluh selisih (tidak di awal: dari 1 ke 10 pembayaran pada 100%, selisih menyusut menjadi 0.17 kali sebelumnya).
Sebagian besar kenaikan diperoleh di awal. Pada 100%, tahunan ke bulanan menambah 0.61; bulanan ke harian hanya 0.10; harian ke setiap menit 0.004.
Pada suku bunga biasa, frekuensi tidak banyak berpengaruh: pada 5%, tahunan menghasilkan 1.05 dan pemajemukan kontinu 1.0513.
Jendela yang terbuka saat $n$ besar memperbesar beberapa pembayaran terakhir dengan faktor sama di kedua arah, sehingga anak tangga dan selisih terhadap $e^{r}$ mempertahankan proporsi sebenarnya.

03

Cara membaca dengan benar

$r$ adalah suku bunga nominal tahunan. Suku bunga yang benar-benar diperoleh dalam setahun, suku bunga efektif tahunan (APY), adalah $(1 + r/n)^{n} - 1$ , yang lebih tinggi setiap kali $n > 1$ .
Pembayaran harian, per jam, dan per menit mengasumsikan satu tahun 365 hari ( $n = 365$ , 8760, 525 600). Pemajemukan kontinu adalah limit, bukan $n$ yang sangat besar: halaman ini menyatakan $e^{r}$ secara eksak alih-alih membacanya dari $n$ terbesar.

04

Asal dan penerapannya

Jacob Bernoulli mempelajari pertanyaan ini pada 1683: berapa hasil 1 pada 100% jika bunga makin sering dimajemukkan? Ia menunjukkan bahwa jawabannya menuju limit antara 2 dan 3: bilangan yang kini disebut $e$ .
Pertumbuhan sebanding dengan jumlah saat ini, yang dimajemukkan secara kontinu, adalah $e^{kt}$ : pemajemukan kontinu dalam keuangan, dan hukum eksponensial yang sama pada pertumbuhan populasi dan peluruhan radioaktif.

05

Kontrol

Kenop dan tombol Suku bunga mengatur $r$ . Di bawah Pemajemukan, tombol memilih frekuensi bernama; penggeser mengatur waktu antar pembayaran, $1/n$ , pada skala log, sehingga menggesernya ke kanan berarti lebih banyak pembayaran. Klik nilai untuk mengetiknya.
n → ∞ menaikkan $n$ ke pangkat sepuluh berikutnya, lalu melalui tiap pangkat sepuluh hingga sejuta, tempatnya berhenti — masih belum mencapai limit. Bandingkan frekuensi mencantumkan saldo akhir tahun masing-masing. Mode presentasi membuka tampilan layar penuh untuk proyektor (Spasi menjalankan n → ∞, ← → membagi atau mengalikan n dengan 10, H menyembunyikan $e^{r}$ ).

06

Terkait

Bacaan lanjutan: Wikipedia: Compound interest (Bahasa Inggris); OpenStax, Precalculus 2e, 4.1 Exponential Functions (Bahasa Inggris); MacTutor: Sejarah Matematika: The number e (Bahasa Inggris).