Bileşik Faiz: Etkileşimli Görselleştirme

01

Bu görselleştirmede bileşik faiz

Bileşik faiz, faize ödenen faizdir: her ödeme bakiyeye eklenir ve o andan itibaren faiz kazanır. Yılda $n$ kez ödenen $r$ yıllık oranında her ödeme bakiyenin $r/n$ kadarını ekler. Böylece $t$ yıl sonra $P$ anaparası $P\,(1 + r/n)^{\lfloor nt \rfloor}$ olur; burada $\lfloor nt \rfloor$ o ana kadar yapılan ödeme sayısıdır (ödeme anlarında tam $P\,(1 + r/n)^{nt}$ ). Dönemsel bileşiklendirme $y = a(1 + r)^{x}$ olarak da yazılır; $a$ anapara, $r$ dönemlik oran, $x$ dönem sayısıdır. Burada dönemlik oran $r/n$ , bir yıldaki dönem sayısı $n$ olur. Sayfa 1 anaparasını bir yıl boyunca izler; sürgüde $n$ değerini 1 ile bir milyon arasında değiştirir. Yazılan değerler 100 milyona kadar çıkabilir.

Sarı merdiven bakiyedir: ödemeler arasında yataydır, her ödemede bir basamak yükselir. Alttaki kırmızı işaretler, aralarında yılın 1/n kadarı bulunan ödeme anlarını gösterir. Yıl sonunda merdiven şu değere ulaşır:

Bir yıl sonundaki bakiye

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}.

$n$ arttıkça basamaklar küçülüp sıklaşır ve yıl sonu bakiyesi artar; ancak sınırsız büyümez. Mavi eğriye, yani sürekli bileşiklendirmeye yaklaşır:

Limit

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n} = e^{r}, \qquad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e = 2.718281828\ldots

$r = 100\%$ olduğunda limit $e$ sayısının kendisidir; bu, standart tanımlarından biridir. Mavi eğri $e^{rt}$ , faiz sürekli işlendiğindeki bakiyedir.

02

Dikkat edilecekler

Yıl sonu bakiyesi $n$ ile daima artar ve hep $e^{r}$ altında kalır. Büyük $n$ için fark yaklaşık $e^{r} r^{2} / (2n)$ olur; bu nedenle ödeme sayısının on katına çıkması farkın yaklaşık onda birini bırakır (başlangıçta değil: %100 oranında 1 ödemeden 10 ödemeye geçince fark öncekinin 0.17 katına düşer).
Kazancın çoğu başta gelir. %100 oranında yıllıktan aylığa geçmek 0.61; aylıktan günlüğe yalnızca 0.10; günlükten dakikalığa 0.004 ekler.
Olağan oranlarda sıklığın etkisi azdır: %5 oranında yıllık 1.05, sürekli bileşiklendirme 1.0513 verir.
Büyük $n$ değerlerinde açılan pencere son birkaç ödemeyi iki yönde de aynı katsayıyla büyütür; böylece basamaklar ve $e^{r}$ ile aradaki fark gerçek oranlarını korur.

03

Doğru okuma

$r$ nominal yıllık orandır. Bir yılda gerçekte kazanılan oran, efektif yıllık faiz oranı (APY), $(1 + r/n)^{n} - 1$ olur ve $n > 1$ olduğunda daha yüksektir.
Günlük, saatlik ve dakikalık ödemeler 365 günlük yılı varsayar ( $n = 365$ , 8760, 525 600). Sürekli bileşiklendirme çok büyük bir $n$ değil, bir limittir: sayfa en büyük $n$ üzerinden okumak yerine $e^{r}$ değerini tam olarak belirtir.

04

Kökeni ve kullanım alanları

Jacob Bernoulli 1683'te şu soruyu inceledi: faiz giderek daha sık bileşiklendirilirse 1, %100 oranında ne kadar kazanır? Yanıtın 2 ile 3 arasındaki bir limite, bugün $e$ denen sayıya yerleştiğini gösterdi.
Mevcut miktarla orantılı, sürekli bileşiklenen büyüme $e^{kt}$ olur: finansta sürekli bileşiklendirme; nüfus artışında ve radyoaktif bozunmada da aynı üstel yasa.

05

Kontroller

Oran düğmesi ve tuşları $r$ değerini ayarlar. Bileşiklendirme altında tuşlar adlandırılmış bir sıklık seçer; sürgü ödemeler arasındaki $1/n$ süreyi logaritmik ölçekte ayarlar. Sağa itmek daha çok ödeme demektir. Bir değeri yazmak için üzerine tıklayın.
n → ∞, $n$ değerini önce onun bir sonraki kuvvetine, sonra onun her kuvvetinden geçerek bir milyona çıkarır ve orada, limitin hâlâ altında durur. Sıklıkları karşılaştır her biri için yıl sonu bakiyesini listeler. Sunum modu, projektörler için tam ekran görünümü açar (Boşluk n → ∞ işlemini çalıştırır, ← → n'yi 10'a böler veya 10 ile çarpar, H $e^{r}$ değerini gizler).

06

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Compound interest (İngilizce); OpenStax, Precalculus 2e, 4.1 Exponential Functions (İngilizce); MacTutor Matematik Tarihi: The number e (İngilizce).