Zinseszins: Interaktive Visualisierung

01

Zinseszins in dieser Visualisierung

Zinseszins bedeutet Zinsen auf Zinsen: Jede Gutschrift erhöht das Guthaben und wird fortan mitverzinst. Bei einem Jahreszinssatz $r$ mit $n$ Gutschriften pro Jahr beträgt jede Gutschrift den Anteil $r/n$ des Guthabens. Nach $t$ Jahren ist ein Anfangskapital $P$ deshalb auf $P\,(1 + r/n)^{\lfloor nt \rfloor}$ gewachsen, wobei $\lfloor nt \rfloor$ die Anzahl der bisherigen Gutschriften ist (zu den Gutschriftzeitpunkten einfach $P\,(1 + r/n)^{nt}$ ). Periodische Verzinsung schreibt man auch als $y = a(1 + r)^{x}$ , mit Anfangskapital $a$ , Zinssatz $r$ pro Periode und $x$ Perioden. Hier ist der Zinssatz pro Periode $r/n$ , und ein Jahr umfasst $n$ Perioden. Diese Seite verfolgt ein Anfangskapital von 1 über ein Jahr und lässt $n$ am Schieberegler von 1 bis zu einer Million laufen; eingegebene Werte dürfen bis zu 100 Millionen betragen.

Die gelbe Treppe zeigt das Guthaben: zwischen den Gutschriften konstant, bei jeder Gutschrift eine Stufe höher. Die roten Striche am unteren Rand markieren die Gutschriftzeitpunkte im Abstand von 1/n Jahren. Am Jahresende erreicht die Treppe

Guthaben nach einem Jahr

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}.

Mit wachsendem $n$ werden die Stufen kleiner und häufiger, und das Guthaben am Jahresende steigt — aber nicht unbegrenzt. Es nähert sich der blauen Kurve, der stetigen Verzinsung:

Der Grenzwert

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n} = e^{r}, \qquad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e = 2.718281828\ldots

Für $r = 100\%$ ist der Grenzwert die Zahl $e$ selbst; das ist eine ihrer üblichen Definitionen. Die blaue Kurve ist $e^{rt}$ , das Guthaben bei stetiger Zinsgutschrift.

02

Was auffällt

Das Guthaben am Jahresende steigt stets mit $n$ und bleibt stets unter $e^{r}$ . Für große $n$ beträgt der Abstand ungefähr $e^{r} r^{2} / (2n)$ . Zehnmal so viele Gutschriften lassen also ungefähr ein Zehntel des Abstands übrig (anfangs noch nicht: Von 1 auf 10 Gutschriften bei 100 % schrumpft er auf das 0.17-Fache).
Der größte Zugewinn entsteht am Anfang. Bei 100 % bringt der Wechsel von jährlich zu monatlich 0.61 mehr; von monatlich zu täglich nur 0.10; von täglich zu minütlich 0.004.
Bei üblichen Zinssätzen zählt die Häufigkeit wenig: Bei 5 % ergibt jährliche Verzinsung 1.05, stetige Verzinsung 1.0513.
Das Fenster, das sich bei großem $n$ öffnet, vergrößert die letzten Gutschriften in beiden Richtungen um denselben Faktor. So behalten die Stufen und der Abstand zu $e^{r}$ ihre tatsächlichen Proportionen.

03

Richtig lesen

$r$ ist der nominale Jahreszinssatz. Die tatsächlich in einem Jahr erzielte Rendite, der effektive Jahreszinssatz (APY), beträgt $(1 + r/n)^{n} - 1$ und ist für $n > 1$ höher.
Tägliche, stündliche und minütliche Gutschriften setzen ein Jahr mit 365 Tagen voraus ( $n = 365$ , 8760, 525 600). Stetige Verzinsung ist ein Grenzwert, kein sehr großes $n$ : Die Seite gibt $e^{r}$ exakt an, statt es beim größten $n$ abzulesen.

04

Herkunft und Anwendungen

Jakob Bernoulli untersuchte 1683 diese Frage: Wie viel bringt 1 bei 100 %, wenn die Zinsen immer häufiger gutgeschrieben werden? Er zeigte, dass sich das Ergebnis einem Grenzwert zwischen 2 und 3 nähert: der heute $e$ genannten Zahl.
Stetiges Wachstum proportional zur aktuellen Menge hat die Form $e^{kt}$ : stetige Verzinsung in der Finanzmathematik und dasselbe Exponentialgesetz bei Bevölkerungswachstum und radioaktivem Zerfall.

05

Bedienung

Drehknopf und Tasten unter Zinssatz stellen $r$ ein. Unter Verzinsung wählen die Tasten eine benannte Häufigkeit. Der Schieberegler stellt den zeitlichen Abstand zwischen Gutschriften, $1/n$ , logarithmisch ein; weiter rechts bedeutet mehr Gutschriften. Klicke einen Wert an, um ihn einzugeben.
n → ∞ erhöht $n$ zunächst auf die nächste Zehnerpotenz, dann über jede weitere Zehnerpotenz bis zu einer Million. Dort hält es an — weiterhin unter dem Grenzwert. Häufigkeiten vergleichen zeigt für jede das Guthaben am Jahresende. Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren (Leertaste startet n → ∞, ← → teilen oder multiplizieren n mit 10, H blendet $e^{r}$ aus).

06