الفائدة المركّبة

الفائدة المركّبة في هذا التصوّر

ما الذي يمكنك ملاحظته؟

• يرتفع رصيد نهاية السنة دائمًا مع $n$، ويبقى دائمًا دون $e^{r}$. عندما تكون $n$ كبيرة، يكون الفارق نحو $e^{r} r^{2} / (2n)$، لذا فإن مضاعفة عدد الدفعات عشر مرات تُبقي نحو عُشر الفارق (ولا يصح هذا التقريب منذ البداية: عند الانتقال من دفعة إلى 10 دفعات بمعدل 100%، يصبح الفارق 0.17 من قيمته).
• تأتي معظم الزيادة مبكرًا. عند 100%، يضيف الانتقال من السنوي إلى الشهري 0.61؛ ومن الشهري إلى اليومي 0.10 فقط؛ ومن اليومي إلى كل دقيقة 0.004.
• عند المعدلات المعتادة لا تؤثر الوتيرة كثيرًا: عند 5% يعطي التركيب السنوي 1.05، والمستمر 1.0513.
• تكبّر النافذة التي تفتح عندما تصبح $n$ كبيرة آخر بضع دفعات بالعامل نفسه في الاتجاهين، فتحافظ الدرجات والفارق عن $e^{r}$ على نسبهما الحقيقية.

كيف تقرأه بدقة؟

• $r$ هو المعدل السنوي الاسمي. أما المعدل المكتسب فعليًا في سنة، أي المعدل السنوي الفعّال (APY)، فهو $(1 + r/n)^{n} - 1$، ويكون أعلى كلما كان $n > 1$.
• تفترض الدفعات اليومية والساعية والدقيقة سنةً من 365 يومًا ($n = 365$، 8760، 525 600). التركيب المستمر نهاية، وليس قيمة $n$ كبيرة جدًا: تعرض الصفحة $e^{r}$ بدقة بدلًا من قراءتها من أكبر قيمة لـ $n$.

أصله واستخداماته

• درس ياكوب برنولي هذا السؤال سنة 1683: كم يكسب مبلغ 1 بمعدل 100% إذا رُكّبت الفائدة بتواتر متزايد؟ وأثبت أن الإجابة تستقر عند نهاية بين 2 و3: العدد الذي نسمّيه اليوم $e$.
• النمو المتناسب مع المقدار الحالي، عند تركيبه باستمرار، هو $e^{kt}$: التركيب المستمر للفائدة في التمويل، والقانون الأسي نفسه في نمو السكان والاضمحلال الإشعاعي.

أدوات التحكم

• يضبط مقبض المعدل ومفاتيحه $r$. تحت تركيب الفائدة، تختار المفاتيح وتيرة مسمّاة؛ ويضبط المنزلق الزمن بين الدفعات، $1/n$، على مقياس لوغاريتمي، لذا فإن دفعه إلى اليمين يزيد عدد الدفعات. انقر قيمة لكتابتها.
• ينقل n → ∞ قيمة $n$ إلى القوة التالية للعدد عشرة، ثم يمرّ بقوى العشرة حتى مليون، حيث يتوقف — ويبقى دون النهاية. يعرض قارن الوتائر رصيد نهاية السنة لكل وتيرة. يفتح وضع العرض عرضًا بملء الشاشة لأجهزة العرض (يشغّل مفتاح المسافة n → ∞، ويقسم ← → قيمة n على 10 أو يضربها في 10، ويخفي H قيمة $e^{r}$).

موضوعات ذات صلة