Interés compuesto: visualización interactiva

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El interés compuesto en esta visualización

El interés compuesto es interés abonado sobre intereses: cada abono se suma al saldo y genera intereses desde ese momento. Con una tasa anual $r$ abonada $n$ veces al año, cada abono añade $r/n$ del saldo, por lo que, después de $t$ años, un capital inicial $P$ ha crecido hasta $P\,(1 + r/n)^{\lfloor nt \rfloor}$ , donde $\lfloor nt \rfloor$ es el número de abonos realizados hasta entonces (exactamente $P\,(1 + r/n)^{nt}$ en los instantes de abono). La capitalización por periodos también se escribe $y = a(1 + r)^{x}$ , donde $a$ es el capital inicial, $r$ la tasa por periodo y $x$ el número de periodos; aquí la tasa por periodo es $r/n$ y un año tiene $n$ periodos. Esta página sigue un capital inicial de 1 durante un año y permite variar $n$ de 1 a un millón con el deslizador; los valores escritos pueden llegar a 100 millones.

La escalera amarilla es el saldo: horizontal entre abonos, con un escalón ascendente en cada uno. Las marcas rojas de abajo indican los instantes de abono, separados por 1/n de año. Al final del año, la escalera ha alcanzado

Saldo al cabo de un año

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}.

Al crecer $n$ , los escalones se hacen más pequeños y frecuentes, y el saldo de fin de año aumenta, pero no crece sin límite. Se aproxima a la curva azul, la capitalización continua:

El límite

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n} = e^{r}, \qquad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e = 2.718281828\ldots

Con $r = 100\%$ , el límite es el propio número $e$ ; esta es una de sus definiciones habituales. La curva azul es $e^{rt}$ , el saldo cuando los intereses se abonan continuamente.

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En qué fijarse

El saldo de fin de año siempre aumenta con $n$ y siempre permanece por debajo de $e^{r}$ . Para $n$ grande, la diferencia es aproximadamente $e^{r} r^{2} / (2n)$ , por lo que multiplicar por diez los abonos deja aproximadamente una décima parte de la diferencia (no al principio: al pasar de 1 a 10 abonos al 100%, queda en 0.17 de su valor).
La mayor parte de la ganancia llega pronto. Al 100%, pasar de anual a mensual añade 0.61; de mensual a diario, solo 0.10; de diario a cada minuto, 0.004.
Con tasas habituales, la frecuencia importa poco: al 5%, la capitalización anual da 1.05 y la continua 1.0513.
La ventana que se abre para $n$ grande amplía los últimos abonos por el mismo factor en ambas direcciones, de modo que los escalones y la diferencia respecto a $e^{r}$ conservan sus proporciones reales.

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Cómo interpretarlo

$r$ es la tasa nominal anual. La tasa realmente obtenida en un año, la tasa efectiva anual (APY), es $(1 + r/n)^{n} - 1$ , mayor siempre que $n > 1$ .
Los abonos diarios, por hora y por minuto suponen un año de 365 días ( $n = 365$ , 8760, 525 600). La capitalización continua es un límite, no un $n$ muy grande: la página indica $e^{r}$ exactamente, en vez de leerlo a partir del mayor $n$ .

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De dónde viene y dónde se utiliza

Jacob Bernoulli estudió esta cuestión en 1683: ¿cuánto gana 1 al 100% si los intereses se capitalizan cada vez más a menudo? Demostró que la respuesta se estabiliza en un límite entre 2 y 3: el número que hoy llamamos $e$ .
El crecimiento proporcional a la cantidad actual, capitalizado continuamente, es $e^{kt}$ : la capitalización continua en finanzas y la misma ley exponencial en el crecimiento poblacional y la desintegración radiactiva.

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Controles

El mando y las teclas de Tasa fijan $r$ . En Capitalización, las teclas eligen una frecuencia con nombre; el deslizador fija el tiempo entre abonos, $1/n$ , en escala logarítmica, de modo que moverlo a la derecha significa más abonos. Haz clic en un valor para escribirlo.
n → ∞ lleva $n$ a la siguiente potencia de diez y después recorre cada potencia de diez hasta un millón, donde se detiene, aún sin llegar al límite. Comparar frecuencias muestra el saldo de fin de año para cada una. Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores (Espacio ejecuta n → ∞, ← → dividen o multiplican n por 10 y H oculta $e^{r}$ ).

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Conceptos relacionados

Para saber más: Wikipedia: Compound interest (Inglés); OpenStax, Precalculus 2e, 4.1 Exponential Functions (Inglés); MacTutor: historia de las matemáticas: The number e (Inglés).