Logaritmo

El logaritmo de $x$ en base $b$, escrito $\log_b x$, es el exponente $y$ para el que $b^y = x$: cuántas veces hay que multiplicar $b$ por sí mismo para obtener $x$. Existe para $x > 0$, con $b > 0$ y $b \ne 1$. Las bases habituales son 10 ($\log_{10}$, el logaritmo decimal), $e$ ($\ln$, el logaritmo natural) y 2. Esta página explica la curva $y = \log_b x$ mediante una sola regla.

En el eje x, una cadena de puntos empieza en $x_0$ y se multiplica por el mismo $m$ una y otra vez: $x_0, x_0 m, x_0 m^2, \dots$; en el otro sentido, se divide entre él. Para $m > 1$, los puntos se separan cada vez más en el eje x (para $m < 1$, la cadena va en el otro sentido), pero en la curva cada paso tiene la misma altura $\log_b m$, porque $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$: multiplicar los números suma sus logaritmos. Las marcas amarillas del eje y están igualmente espaciadas. Partiendo de $x_0 = 1$ con $m = b$, las alturas son 0, 1, 2, 3: el logaritmo cuenta los factores $b$. Con $m = \sqrt b$, dos pasos dan un factor $b$, así que cada uno tiene altura ½; de ahí salen los exponentes fraccionarios. La regla determina toda la curva: pasa por $(1, 0)$ y $(b, 1)$; se aplana porque cada nuevo paso vertical necesita el mismo factor, un tramo del eje x cada vez más largo; y dividir hacia 0 nunca lo alcanza, por lo que, para $b > 1$, la curva cae sin límite cuando $x \to 0^+$.

En una escala logarítmica, un número ocupa la posición $\log x$. La cadena queda entonces igualmente espaciada y la curva se convierte en recta: cocientes iguales son distancias iguales. Una regla de cálculo son dos escalas así: deslizar una una distancia $\log x_0$ multiplica todos sus números por $x_0$, y permite leer productos a simple vista con unas tres cifras. Cambiar la base solo cambia la escala de las alturas, $\log_b x = \ln x / \ln b$; para $0 < b < 1$, la curva se invierte, $\log_{1/b} x = -\log_b x$. Y $\log_b(kx) = \log_b x + \log_b k$: escalar la curva horizontalmente por $1/k$ equivale a subirla $\log_b k$.