로그

밑이 $b$인 $x$의 로그는 $\log_b x$로 쓰며, $b^y = x$을 만족하는 지수 $y$입니다. 즉, $x$을 얻으려면 $b$를 몇 번 곱해야 하는지를 나타냅니다. $b > 0$, $b \ne 1$일 때 $x > 0$에 대해 존재합니다. 자주 쓰는 밑은 10($\log_{10}$, 상용로그), $e$($\ln$, 자연로그), 2입니다. 이 페이지에서는 하나의 규칙으로 곡선 $y = \log_b x$을 설명합니다.

x축 위의 점열은 $x_0$에서 시작해 같은 $m$를 거듭 곱한 $x_0, x_0 m, x_0 m^2, \dots$입니다. 반대 방향으로는 그 수로 나눕니다. $m > 1$이면 x축 위의 점 사이 간격이 점점 넓어집니다($m < 1$이면 점열의 방향이 반대입니다). 하지만 곡선 위에서 매 걸음의 높이 변화는 $\log_b m$로 같습니다. $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$이기 때문입니다. 수를 곱하면 그 로그는 더해집니다. y축의 노란 눈금은 등간격입니다. $m = b$로 $x_0 = 1$에서 시작하면 높이는 0, 1, 2, 3입니다. 로그가 곱해진 $b$의 개수를 셉니다. $m = \sqrt b$에서는 두 걸음이 $b$를 한 번 곱한 것과 같으므로 각 걸음의 높이는 ½입니다. 분수 지수는 이렇게 나옵니다. 이 규칙이 곡선 전체를 결정합니다. 곡선은 $(1, 0)$과 $(b, 1)$을 지나고, 한 걸음 올라가는 데 같은 배수를 곱해야 하므로 x축에서 더 긴 거리가 필요해 점점 완만해집니다. 나누기를 반복해도 0에 도달하지는 않으므로, $b > 1$일 때 $x \to 0^+$이면 곡선은 끝없이 내려갑니다.

로그 눈금에서 수는 $\log x$ 위치에 놓입니다. 그러면 점열은 등간격이 되고 곡선은 직선이 됩니다. 같은 비율이 같은 거리입니다. 계산자는 이러한 눈금 두 개로 이루어집니다. 하나를 $\log x_0$만큼 밀면 그 위의 모든 수에 $x_0$를 곱하는 셈이며, 눈으로 대략 세 자리까지 곱을 읽을 수 있습니다. 밑을 바꾸면 높이의 축척만 바뀝니다. $\log_b x = \ln x / \ln b$입니다. $0 < b < 1$이면 곡선이 위아래로 뒤집혀 $\log_{1/b} x = -\log_b x$이 됩니다. 또한 $\log_b(kx) = \log_b x + \log_b k$이므로, 곡선을 가로로 $1/k$배 하는 것은 위로 $\log_b k$만큼 옮기는 것과 같습니다.