Logaritmo

O logaritmo de $x$ na base $b$, escrito $\log_b x$, é o expoente $y$ tal que $b^y = x$: quantos fatores $b$ se multiplicam para obter $x$. Existe para $x > 0$, com $b > 0$ e $b \ne 1$. As bases habituais são 10 ($\log_{10}$, o logaritmo decimal), $e$ ($\ln$, o logaritmo natural) e 2. Esta página explica a curva $y = \log_b x$ com uma única regra.

No eixo x, uma cadeia de pontos começa em $x_0$ e é multiplicada repetidamente pelo mesmo $m$: $x_0, x_0 m, x_0 m^2, \dots$, sendo dividida por ele no sentido oposto. Para $m > 1$, os pontos ficam cada vez mais afastados no eixo x (para $m < 1$, a cadeia percorre-se ao contrário), mas na curva cada passo tem a mesma altura $\log_b m$, porque $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$: multiplicar os números soma os seus logaritmos. As marcas amarelas no eixo y são igualmente espaçadas. Partindo de $x_0 = 1$ com $m = b$, as alturas são 0, 1, 2, 3: o logaritmo conta os fatores $b$. Com $m = \sqrt b$, dois passos dão um fator $b$, pelo que cada passo tem altura ½ — é daí que vêm os expoentes fracionários. A regra determina toda a curva: passa por $(1, 0)$ e $(b, 1)$; torna-se menos inclinada, pois cada novo passo para cima exige o mesmo fator, um trecho cada vez maior do eixo x; e dividir em direção a 0 nunca o atinge, pelo que, para $b > 1$, a curva desce sem limite quando $x \to 0^+$.

Numa escala logarítmica, um número ocupa a posição $\log x$. A cadeia fica então igualmente espaçada e a curva torna-se uma reta: razões iguais são distâncias iguais. Uma régua de cálculo consiste em duas escalas destas: deslizar uma delas por $\log x_0$ multiplica todos os seus números por $x_0$, permitindo ler produtos a olho com cerca de três algarismos. Mudar a base apenas altera a escala das alturas, $\log_b x = \ln x / \ln b$; para $0 < b < 1$, a curva fica invertida verticalmente, $\log_{1/b} x = -\log_b x$. E $\log_b(kx) = \log_b x + \log_b k$: alterar a escala horizontal da curva por $1/k$ equivale a deslocá-la para cima em $\log_b k$.