Логарифм

Логарифм числа $x$ по основанию $b$, обозначаемый $\log_b x$, — показатель $y$, для которого $b^y = x$: сколько множителей $b$ нужно, чтобы получить $x$. Он существует для $x > 0$ при $b > 0$ и $b \ne 1$. Обычные основания — 10 ($\log_{10}$, десятичный логарифм), $e$ ($\ln$, натуральный логарифм) и 2. Эта страница объясняет кривую $y = \log_b x$ одним правилом.

На оси x цепочка точек начинается в $x_0$ и каждый раз умножается на одно $m$: $x_0, x_0 m, x_0 m^2, \dots$, а в обратную сторону делится на него. При $m > 1$ точки расходятся по оси x всё дальше (при $m < 1$ цепочка идёт в другую сторону), но на кривой каждый шаг имеет одну высоту $\log_b m$, поскольку $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$: умножение чисел складывает их логарифмы. Жёлтые отметки на оси y равномерны. При старте из $x_0 = 1$ с $m = b$ высоты равны 0, 1, 2, 3: логарифм считает множители $b$. При $m = \sqrt b$ два шага дают один множитель $b$, поэтому высота каждого — ½; так возникают дробные показатели. Правило определяет всю кривую: она проходит через $(1, 0)$ и $(b, 1)$; становится положе, поскольку ещё один шаг вверх требует того же множителя и всё более длинного участка оси x; деление в сторону 0 никогда его не достигает, поэтому при $b > 1$ кривая неограниченно убывает, когда $x \to 0^+$.

На логарифмической шкале число занимает положение $\log x$. Цепочка становится равномерной, кривая — прямой: равные отношения означают равные расстояния. Логарифмическая линейка — две такие шкалы: сдвиг одной на $\log x_0$ умножает каждое её число на $x_0$, позволяя считывать произведения примерно до трёх значащих цифр. Смена основания лишь меняет масштаб высот, $\log_b x = \ln x / \ln b$; при $0 < b < 1$ кривая переворачивается, $\log_{1/b} x = -\log_b x$. И $\log_b(kx) = \log_b x + \log_b k$: масштабирование кривой по горизонтали с множителем $1/k$ равносильно сдвигу вверх на $\log_b k$.