Сложные проценты: интерактивная визуализация

Сложные проценты в этой визуализации

Сложные проценты — проценты на проценты: каждое начисление добавляется к сумме и дальше само приносит проценты. При годовой ставке $r$ и $n$ начислениях в год каждое добавляет $r/n$ от текущей суммы, поэтому через $t$ лет начальный капитал $P$ вырастает до $P\,(1 + r/n)^{\lfloor nt \rfloor}$ , где $\lfloor nt \rfloor$ — число уже сделанных начислений (в моменты начисления это просто $P\,(1 + r/n)^{nt}$ ). Начисление по периодам также записывают как $y = a(1 + r)^{x}$ , где $a$ — начальный капитал, $r$ — ставка за период, $x$ — число периодов; здесь ставка за период равна $r/n$ , а в году $n$ периодов. Страница прослеживает начальный капитал 1 в течение года; ползунок меняет $n$ от 1 до миллиона, а ввод допускает значения до 100 миллионов.

Жёлтая лестница — текущая сумма: она постоянна между начислениями и поднимается на ступеньку при каждом из них. Красные отметки снизу обозначают моменты начисления с интервалом 1/n года. К концу года лестница достигает

Сумма через год

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}.

С ростом $n$ ступени становятся мельче и чаще, а сумма к концу года увеличивается, но не безгранично. Она приближается к синей кривой — непрерывному начислению:

Предел

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n} = e^{r}, \qquad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e = 2.718281828\ldots

При $r = 100\%$ предел равен самому числу $e$ ; это одно из его стандартных определений. Синяя кривая — $e^{rt}$ , сумма при непрерывном начислении процентов.

На что обратить внимание

Сумма к концу года всегда растёт с $n$ и остаётся ниже $e^{r}$ . При больших $n$ разность примерно равна $e^{r} r^{2} / (2n)$ , поэтому увеличение числа начислений в десять раз оставляет примерно десятую часть разности (вначале это не так: при переходе от 1 к 10 начислениям при 100% остаётся 0.17 прежней разности).
Основной выигрыш получается в начале. При 100% переход от ежегодного начисления к ежемесячному добавляет 0.61; от ежемесячного к ежедневному — только 0.10; от ежедневного к ежеминутному — 0.004.
При обычных ставках частота мало влияет: при 5% ежегодное начисление даёт 1.05, а непрерывное — 1.0513.
Окно, открывающееся при больших $n$ , увеличивает последние начисления одинаково по обеим осям, сохраняя истинные пропорции ступеней и разности с $e^{r}$ .

Как читать правильно

$r$ — номинальная годовая ставка. Фактически заработанная за год ставка — эффективная годовая доходность (APY) — равна $(1 + r/n)^{n} - 1$ и выше при $n > 1$ .
Ежедневные, ежечасные и ежеминутные начисления предполагают год из 365 дней ( $n = 365$ , 8760, 525 600). Непрерывное начисление — предел, а не очень большое $n$ : страница указывает $e^{r}$ точно, а не считывает его при максимальном $n$ .

Происхождение и применение

Якоб Бернулли изучал этот вопрос в 1683 году: сколько принесёт 1 при 100%, если начислять проценты всё чаще? Он показал, что результат стремится к пределу между 2 и 3 — числу, которое теперь называют $e$ .
Рост, пропорциональный текущему количеству, при непрерывном накоплении даёт $e^{kt}$ : непрерывное начисление процентов в финансах и тот же экспоненциальный закон в росте популяций и радиоактивном распаде.

Управление

Ручка и кнопки Ставка задают $r$ . В разделе Начисление кнопки выбирают стандартную частоту; ползунок задаёт время между начислениями $1/n$ по логарифмической шкале, поэтому движение вправо увеличивает число начислений. Нажмите на значение, чтобы ввести его.
n → ∞ увеличивает $n$ до следующей степени десяти, затем проходит каждую следующую степень десяти до миллиона, где останавливается, всё ещё не достигая предела. Сравнить частоты показывает сумму через год для каждой частоты. Режим презентации открывает полный экран для проектора (Пробел запускает n → ∞, ← → делят или умножают n на 10, H скрывает $e^{r}$ ).

Связанные темы

Дополнительные материалы: Википедия: Compound interest (Английский); OpenStax, Precalculus 2e, 4.1 Exponential Functions (Английский); Архив истории математики MacTutor: The number e (Английский).