Intérêts composés : visualisation interactive

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Les intérêts composés dans cette visualisation

Les intérêts composés sont des intérêts versés sur les intérêts : chaque versement s’ajoute au solde et produit à son tour des intérêts. Au taux annuel $r$ , versé $n$ fois par an, chaque versement ajoute $r/n$ du solde ; après $t$ années, un capital $P$ est donc devenu $P\,(1 + r/n)^{\lfloor nt \rfloor}$ , où $\lfloor nt \rfloor$ est le nombre de versements déjà effectués (simplement $P\,(1 + r/n)^{nt}$ aux dates de versement). La capitalisation par période s’écrit aussi $y = a(1 + r)^{x}$ , où $a$ est le capital, $r$ le taux par période et $x$ le nombre de périodes ; ici, le taux par période est $r/n$ et une année compte $n$ périodes. Cette page suit un capital de 1 pendant un an et permet de faire varier $n$ de 1 à un million avec le curseur ; les valeurs saisies peuvent atteindre 100 millions.

L’escalier jaune représente le solde : constant entre les versements, puis relevé d’une marche à chacun. Les traits rouges du bas marquent les dates de versement, espacées de 1/n d’année. En fin d’année, l’escalier atteint

Solde après un an

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}.

Lorsque $n$ augmente, les marches deviennent plus petites et plus fréquentes, et le solde de fin d’année augmente — mais pas sans borne. Il se rapproche de la courbe bleue, la capitalisation continue :

La limite

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n} = e^{r}, \qquad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e = 2.718281828\ldots

Pour $r = 100\%$ , la limite est le nombre $e$ lui-même ; c’est l’une de ses définitions classiques. La courbe bleue est $e^{rt}$ , le solde lorsque les intérêts sont crédités en continu.

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À observer

Le solde de fin d’année augmente toujours avec $n$ et reste toujours inférieur à $e^{r}$ . Pour $n$ grand, l’écart vaut environ $e^{r} r^{2} / (2n)$ : dix fois plus de versements laissent donc environ un dixième de l’écart (pas au début : passer de 1 à 10 versements à 100 % le réduit à 0.17 de sa valeur).
L’essentiel du gain vient au début. À 100 %, passer d’annuel à mensuel ajoute 0.61 ; de mensuel à quotidien, seulement 0.10 ; de quotidien à chaque minute, 0.004.
Aux taux ordinaires, la fréquence compte peu : à 5 %, la capitalisation annuelle donne 1.05 et la capitalisation continue 1.0513.
La fenêtre qui s’ouvre pour $n$ grand agrandit les derniers versements du même facteur dans les deux directions ; les marches et l’écart à $e^{r}$ gardent donc leurs proportions réelles.

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Bien lire le graphique

$r$ est le taux annuel nominal. Le taux réellement obtenu sur une année, le taux annuel effectif (APY), est $(1 + r/n)^{n} - 1$ , qui est plus élevé dès que $n > 1$ .
Les versements quotidiens, horaires et à la minute supposent une année de 365 jours ( $n = 365$ , 8760, 525 600). La capitalisation continue est une limite, pas un très grand $n$ : la page donne $e^{r}$ exactement, au lieu de le déduire du plus grand $n$ .

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Origine et applications

Jacob Bernoulli a étudié cette question en 1683 : combien rapporte 1 à 100 % si les intérêts sont capitalisés de plus en plus souvent ? Il a montré que la réponse tend vers une limite entre 2 et 3 : le nombre aujourd’hui appelé $e$ .
Une croissance proportionnelle à la quantité présente, capitalisée en continu, s’écrit $e^{kt}$ : c’est la capitalisation continue en finance, et la même loi exponentielle intervient dans la croissance des populations et la décroissance radioactive.

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Commandes

Le bouton et les touches Taux règlent $r$ . Sous Capitalisation, les touches choisissent une fréquence nommée ; le curseur règle le temps entre versements, $1/n$ , sur une échelle logarithmique : le pousser vers la droite augmente donc le nombre de versements. Cliquez sur une valeur pour la saisir.
n → ∞ fait passer $n$ à la puissance de dix suivante, puis parcourt les puissances de dix jusqu’à un million, où il s’arrête — toujours en dessous de la limite. Comparer les fréquences donne le solde de fin d’année pour chacune. Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran pour la projection (Espace lance n → ∞, ← → divisent ou multiplient n par 10, H masque $e^{r}$ ).

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Voir aussi

Pour aller plus loin: Wikipédia: Compound interest (Anglais); OpenStax, Precalculus 2e, 4.1 Exponential Functions (Anglais); MacTutor History of Mathematics: The number e (Anglais).