Logarithme

Le logarithme de $x$ en base $b$, noté $\log_b x$, est l’exposant $y$ tel que $b^y = x$ : combien de facteurs $b$ il faut multiplier pour obtenir $x$. Il existe pour $x > 0$, avec $b > 0$ et $b \ne 1$. Les bases usuelles sont 10 ($\log_{10}$, le logarithme décimal), $e$ ($\ln$, le logarithme népérien) et 2. Cette page explique la courbe $y = \log_b x$ à partir d’une seule règle.

Sur l’axe des x, une chaîne de points part de $x_0$ et est multipliée à répétition par le même $m$ : $x_0, x_0 m, x_0 m^2, \dots$, et divisée par lui dans l’autre sens. Pour $m > 1$, les points s’écartent de plus en plus sur l’axe des x (pour $m < 1$, la chaîne va dans l’autre sens), mais sur la courbe chaque pas a la même hauteur $\log_b m$, car $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$ : multiplier les nombres ajoute leurs logarithmes. Les encoches jaunes sur l’axe des y sont régulièrement espacées. En partant de $x_0 = 1$ avec $m = b$, les hauteurs sont 0, 1, 2, 3 : le logarithme compte les facteurs $b$. Avec $m = \sqrt b$, deux pas font un facteur $b$, donc chacun a une hauteur de ½ — voilà l’origine des exposants fractionnaires. La règle détermine toute la courbe : elle passe par $(1, 0)$ et $(b, 1)$ ; elle s’aplatit, car un pas supplémentaire en hauteur exige le même facteur, donc une distance toujours plus longue sur l’axe des x ; et les divisions vers 0 ne l’atteignent jamais, donc pour $b > 1$, la courbe descend sans borne lorsque $x \to 0^+$.

Sur une échelle logarithmique, un nombre se place en $\log x$. La chaîne devient alors régulièrement espacée et la courbe devient une droite : rapports égaux, distances égales. Une règle à calcul comporte deux telles échelles : en faire glisser une de $\log x_0$ multiplie chacun de ses nombres par $x_0$, et l’on lit les produits à l’œil avec environ trois chiffres. Changer de base ne fait que redimensionner les hauteurs, $\log_b x = \ln x / \ln b$ ; pour $0 < b < 1$, la courbe est renversée, $\log_{1/b} x = -\log_b x$. Et $\log_b(kx) = \log_b x + \log_b k$ : redimensionner horizontalement la courbe par $1/k$ revient à la monter de $\log_b k$.