Logaritmo

Il logaritmo di $x$ in base $b$, scritto $\log_b x$, è l’esponente $y$ con $b^y = x$: quante volte moltiplicare $b$ per sé stesso per ottenere $x$. Esiste per $x > 0$, con $b > 0$ e $b \ne 1$. Le basi comuni sono 10 ($\log_{10}$, il logaritmo decimale), $e$ ($\ln$, il logaritmo naturale) e 2. Questa pagina spiega la curva $y = \log_b x$ attraverso un’unica regola.

Sull’asse x una catena di punti parte da $x_0$ e viene moltiplicata ripetutamente per lo stesso $m$: $x_0, x_0 m, x_0 m^2, \dots$, e divisa per esso nell’altro verso. Per $m > 1$ i punti si distanziano sempre di più lungo l’asse x (per $m < 1$ la catena va nell’altro verso), ma sulla curva ogni passo ha la stessa altezza $\log_b m$, perché $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$: moltiplicare i numeri somma i loro logaritmi. Le tacche gialle sull’asse y sono equidistanti. Partendo da $x_0 = 1$ con $m = b$, le altezze sono 0, 1, 2, 3: il logaritmo conta i fattori $b$. Con $m = \sqrt b$ due passi fanno un fattore $b$, quindi ciascuno è alto ½ — da qui vengono gli esponenti frazionari. La regola dà forma all’intera curva: passa per $(1, 0)$ e $(b, 1)$; si appiattisce, perché ogni passo in più verso l’alto richiede lo stesso fattore, un tratto sempre più lungo dell’asse x; e dividendo verso 0 non lo si raggiunge mai, quindi per $b > 1$ la curva scende senza limite quando $x \to 0^+$.

Su una scala logaritmica un numero si trova nella posizione $\log x$. La catena diventa allora equidistante e la curva una retta: rapporti uguali sono distanze uguali. Un regolo calcolatore è composto da due scale di questo tipo: farne scorrere una di $\log x_0$ moltiplica ogni suo numero per $x_0$, e si leggono i prodotti a occhio con circa tre cifre. Cambiare la base riscala solo le altezze, $\log_b x = \ln x / \ln b$; per $0 < b < 1$ la curva si capovolge, $\log_{1/b} x = -\log_b x$. E $\log_b(kx) = \log_b x + \log_b k$: scalare la curva orizzontalmente di $1/k$ equivale a spostarla verso l’alto di $\log_b k$.