Logaritma

$x$ sayısının $b$ tabanındaki logaritması, $\log_b x$ ile yazılır ve $b^y = x$ sağlayan $y$ üssüdür: $x$ elde etmek için $b$ kaç kez çarpılmalıdır? $b > 0$ ve $b \ne 1$ koşullarıyla $x > 0$ için vardır. Yaygın tabanlar 10 ($\log_{10}$, onluk logaritma), $e$ ($\ln$, doğal logaritma) ve 2'dir. Sayfa $y = \log_b x$ eğrisini tek bir kuralla açıklar.

x eksenindeki nokta zinciri $x_0$ değerinden başlar ve aynı $m$ ile tekrar tekrar çarpılır: $x_0, x_0 m, x_0 m^2, \dots$; diğer yönde ona bölünür. $m > 1$ için noktalar x ekseninde giderek uzaklaşır ($m < 1$ için zincir ters yönde gider), ancak eğri üzerindeki her adım aynı $\log_b m$ yüksekliğindedir; çünkü $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. Sayıları çarpmak logaritmalarını toplar. y eksenindeki sarı çentikler eşit aralıklıdır. $x_0 = 1$ başlangıcı ve $m = b$ ile yükseklikler 0, 1, 2, 3 olur: logaritma $b$ çarpanlarını sayar. $m = \sqrt b$ ile iki adım bir $b$ çarpanı verir; her biri ½ yüksektir. Kesirli üsler buradan gelir. Kural tüm eğriyi biçimlendirir: $(1, 0)$ ve $(b, 1)$ noktalarından geçer; bir adım daha yükselmek aynı çarpanı, x ekseninde gittikçe daha uzun aralık gerektirdiğinden yataylaşır. 0'a doğru bölmek ona hiç ulaşmaz; $b > 1$ için $x \to 0^+$ iken eğri sınırsız aşağı iner.

Logaritmik ölçekte bir sayı $\log x$ konumundadır. Zincir eşit aralıklı, eğri doğru olur: eşit oranlar eşit uzaklıklardır. Hesap cetveli böyle iki ölçektir: birini $\log x_0$ kadar kaydırmak üzerindeki her sayıyı $x_0$ ile çarpar; çarpımları gözle yaklaşık üç basamakla okursunuz. Tabanı değiştirmek yalnızca yükseklikleri ölçekler: $\log_b x = \ln x / \ln b$. $0 < b < 1$ için eğri baş aşağı döner: $\log_{1/b} x = -\log_b x$. Ayrıca $\log_b(kx) = \log_b x + \log_b k$: eğriyi yatayda $1/k$ kat ölçeklemek, $\log_b k$ kadar yukarı taşımakla aynıdır.