對數

$x$ 以 $b$ 為底數的對數，記為 $\log_b x$，是滿足 $b^y = x$ 的指數 $y$：也就是要把多少個 $b$ 相乘，才能得到 $x$。它在 $x > 0$、$b > 0$ 且 $b \ne 1$ 時有定義。常見底數包括 10（$\log_{10}$，常用對數）、$e$（$\ln$，自然對數）與 2。本頁用一條規則解釋曲線 $y = \log_b x$。

x 軸上有一串點，從 $x_0$ 出發，反覆乘以相同的 $m$：$x_0, x_0 m, x_0 m^2, \dots$；反方向則反覆除以它。當 $m > 1$ 時，這些點在 x 軸上愈離愈遠（$m < 1$ 時點串方向相反），但在曲線上，每一步的高度都相同，等於 $\log_b m$，因為 $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$：兩數相乘，其對數相加。y 軸上的黃色刻痕等距。由 $x_0 = 1$ 出發，取 $m = b$，高度依次為 0、1、2、3：對數計算因數 $b$ 的個數。使用 $m = \sqrt b$ 時，兩步才相當於乘上一個 $b$，所以每步高 ½，這就是分數指數的來源。這條規則決定整條曲線：它通過 $(1, 0)$ 與 $(b, 1)$；由於再上升一步需要相同倍數，對應 x 軸上愈來愈長的距離，曲線逐漸變平；而不斷相除只能逼近 0，無法到達，所以對 $b > 1$，當 $x \to 0^+$ 時曲線會無界地下降。

在對數刻度上，一個數放在 $\log x$ 的位置。因此點串變得等距，曲線變成直線：相等的比值對應相等的距離。計算尺由兩條這樣的刻度組成：將其中一條平移 $\log x_0$，就讓尺上每個數乘以 $x_0$，用眼睛便能讀出約三位有效數字的乘積。換底只會按比例調整高度，$\log_b x = \ln x / \ln b$；若 $0 < b < 1$，曲線上下翻轉，$\log_{1/b} x = -\log_b x$。另外，$\log_b(kx) = \log_b x + \log_b k$：在水平方向縮放至 $1/k$ 倍，等同向上平移 $\log_b k$。