複利：互動式視覺化 · Bun & Bolt Math

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本頁中的複利

複利就是對利息再付利息：每筆利息加入餘額後，也開始產生利息。年利率 $r$ ，每年計息 $n$ 次，每次增加當時餘額的 $r/n$ ，因此 $t$ 年後，本金 $P$ 成長為 $P\,(1 + r/n)^{\lfloor nt \rfloor}$ ； $\lfloor nt \rfloor$ 是截至目前的計息次數（在計息時點恰為 $P\,(1 + r/n)^{nt}$ ）。逐期複利也寫成 $y = a(1 + r)^{x}$ ，其中 $a$ 是本金， $r$ 是每期利率， $x$ 是期數；此處每期利率為 $r/n$ ，一年有 $n$ 期。本頁追蹤本金 1 的一年變化，滑桿可將 $n$ 從 1 調到一百萬；直接輸入可達一億。

黃色階梯是餘額：兩次計息間保持水平，每次計息向上跳一階。底部的紅色刻度標示計息時點，間隔 1/n 年。到年末時，階梯已達到

一年後的餘額

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}.

$n$ 增大時，每一階更小、出現得更頻繁，年末餘額也增加 — 但不會無限增大。它逼近藍色曲線，也就是連續複利：

極限

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n} = e^{r}, \qquad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e = 2.718281828\ldots

當 $r = 100\%$ 時，極限就是數 $e$ 本身；這是它的標準定義之一。藍色曲線為 $e^{rt}$ ，表示連續入帳利息時的餘額。

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值得觀察的地方

年末餘額總是隨 $n$ 上升，也總是低於 $e^{r}$ 。 $n$ 很大時，差距約為 $e^{r} r^{2} / (2n)$ ，所以計息次數增加為十倍，差距約剩十分之一（起初並非如此：100% 利率下，從 1 次變成 10 次，差距縮為原本的 0.17）。
大部分增加發生在前期。100% 利率下，每年改為每月增加 0.61；每月改為每天只增加 0.10；每天改為每分鐘增加 0.004。
一般利率下，頻率影響很小：利率 5% 時，每年計息得到 1.05，連續複利得到 1.0513。
$n$ 很大時開啟的視窗，會以水平、鉛直相同的倍率放大最後幾次計息，因此階梯與 $e^{r}$ 的差距仍保持真實比例。

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如何正確閱讀

$r$ 是名目年利率。一年實際獲得的利率，也就是有效年利率（APY），為 $(1 + r/n)^{n} - 1$ ；只要 $n > 1$ ，它就較高。
每日、每小時與每分鐘計息都假設一年有 365 天（ $n = 365$ 、8760、525 600）。連續複利是極限，不是很大的 $n$ ：本頁直接給出精確的 $e^{r}$ ，而不是從最大的 $n$ 讀取。

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由來與應用

Jacob Bernoulli 在 1683 年研究這個問題：本金 1、利率 100%，如果越來越頻繁地複利計息，會得到多少？他證明答案趨近 2 與 3 之間的極限：如今稱為 $e$ 的數。
以與當前數量成正比的速率成長，連續累積後就是 $e^{kt}$ ：金融中的連續複利，與人口成長、放射性衰變遵循相同的指數法則。

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操作方式

利率旋鈕與按鍵設定 $r$ 。在計息下方，按鍵選擇特定頻率；滑桿以對數刻度設定兩次計息間的時間 $1/n$ ，因此向右推代表計息更頻繁。點選數值可直接輸入。
n → ∞先將 $n$ 提高到下一個十的次方，再逐次升至一百萬，並停在那裡 — 仍未達到極限。比較頻率列出各頻率的年末餘額。簡報模式開啟適合投影機的全螢幕畫面（空白鍵執行 n → ∞，← → 將 n 除以或乘以 10，H 隱藏 $e^{r}$ ）。

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