Interesse composto: visualizzazione interattiva

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L’interesse composto in questa visualizzazione

L’interesse composto è interesse pagato sugli interessi: ogni accredito si aggiunge al saldo e da quel momento matura interessi. A un tasso annuo $r$ , accreditato $n$ volte all’anno, ogni accredito aggiunge $r/n$ del saldo; dopo $t$ anni un capitale $P$ è quindi cresciuto a $P\,(1 + r/n)^{\lfloor nt \rfloor}$ , dove $\lfloor nt \rfloor$ è il numero di accrediti effettuati fino ad allora (esattamente $P\,(1 + r/n)^{nt}$ negli istanti di accredito). La capitalizzazione per periodo si scrive anche $y = a(1 + r)^{x}$ , con $a$ capitale iniziale, $r$ tasso per periodo e $x$ numero di periodi; qui il tasso per periodo è $r/n$ e un anno ha $n$ periodi. Questa pagina segue un capitale di 1 per un anno e permette a $n$ di andare da 1 a un milione con il cursore; i valori digitati possono arrivare a 100 milioni.

La scala gialla è il saldo: costante tra gli accrediti, con un gradino in su a ciascuno. Le tacche rosse in basso indicano gli istanti di accredito, distanti 1/n di anno. Alla fine dell’anno la scala ha raggiunto

Saldo dopo un anno

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}.

Al crescere di $n$ i gradini diventano più piccoli e frequenti e il saldo di fine anno aumenta — ma non cresce senza limite. Si avvicina alla curva blu, la capitalizzazione continua:

Il limite

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n} = e^{r}, \qquad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e = 2.718281828\ldots

Con $r = 100\%$ il limite è proprio il numero $e$ ; questa è una delle sue definizioni classiche. La curva blu è $e^{rt}$ , il saldo quando gli interessi sono accreditati continuamente.

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Cosa osservare

Il saldo di fine anno cresce sempre con $n$ e resta sempre sotto $e^{r}$ . Per $n$ grande lo scarto è circa $e^{r} r^{2} / (2n)$ , quindi decuplicare gli accrediti lascia circa un decimo dello scarto (non all’inizio: da 1 a 10 accrediti al 100%, si riduce a 0.17 del valore iniziale).
La maggior parte del guadagno arriva presto. Al 100%, passare da annuale a mensile aggiunge 0.61; da mensile a giornaliera solo 0.10; da giornaliera a ogni minuto 0.004.
Ai tassi ordinari la frequenza conta poco: al 5%, la capitalizzazione annuale dà 1.05 e quella continua 1.0513.
La finestra che si apre per $n$ grande ingrandisce gli ultimi accrediti dello stesso fattore in entrambe le direzioni, quindi i gradini e lo scarto da $e^{r}$ mantengono le proporzioni reali.

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Come leggerlo correttamente

$r$ è il tasso annuo nominale. Il tasso effettivamente maturato in un anno, il tasso annuo effettivo (APY), è $(1 + r/n)^{n} - 1$ , maggiore quando $n > 1$ .
Gli accrediti giornalieri, orari e al minuto assumono un anno di 365 giorni ( $n = 365$ , 8760, 525 600). La capitalizzazione continua è un limite, non un $n$ molto grande: la pagina indica $e^{r}$ esattamente, invece di ricavarlo dal più grande $n$ .

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Origine e applicazioni

Jacob Bernoulli studiò questa domanda nel 1683: quanto guadagna 1 al 100% se gli interessi vengono capitalizzati sempre più spesso? Mostrò che la risposta tende a un limite tra 2 e 3: il numero oggi chiamato $e$ .
Una crescita proporzionale alla quantità attuale, capitalizzata continuamente, è $e^{kt}$ : la capitalizzazione continua in finanza e la stessa legge esponenziale nella crescita delle popolazioni e nel decadimento radioattivo.

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Comandi

La manopola e i tasti Tasso impostano $r$ . Sotto Capitalizzazione, i tasti scelgono una frequenza predefinita; il cursore imposta il tempo tra gli accrediti, $1/n$ , su scala logaritmica, quindi spostarlo a destra significa più accrediti. Fai clic su un valore per digitarlo.
n → ∞ porta $n$ alla successiva potenza di dieci, poi attraversa ogni potenza di dieci fino a un milione, dove si ferma — ancora sotto il limite. Confronta le frequenze elenca il saldo di fine anno per ciascuna. Modalità presentazione apre una vista a schermo intero per proiettori (Spazio avvia n → ∞, ← → dividono o moltiplicano n per 10, H nasconde $e^{r}$ ).

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Concetti collegati

Per approfondire: Wikipedia: Compound interest (Inglese); OpenStax, Precalculus 2e, 4.1 Exponential Functions (Inglese); MacTutor History of Mathematics: The number e (Inglese).