복리: 인터랙티브 시각화

이 시각화에서 보는 복리

복리는 이자에 다시 이자가 붙는 것입니다. 각 이자 지급액이 잔액에 더해져 그 이후부터 이자를 얻습니다. 연이율 $r$ 로 연 $n$ 번 지급하면, 매번 현재 잔액의 $r/n$ 만큼 더해집니다. 따라서 $t$ 년 뒤 원금 $P$ 은 $P\,(1 + r/n)^{\lfloor nt \rfloor}$ 이 됩니다. 여기서 $\lfloor nt \rfloor$ 은 그때까지 지급한 횟수이며, 지급 시점에서는 정확히 $P\,(1 + r/n)^{nt}$ 입니다. 기간별 복리는 $y = a(1 + r)^{x}$ 로도 씁니다. $a$ 은 원금, $r$ 는 기간당 이율, $x$ 은 기간 수입니다. 여기서는 기간당 이율이 $r/n$ 이고 일 년은 $n$ 개 기간입니다. 이 페이지는 원금 1을 일 년간 추적하며, 슬라이더로 $n$ 을 1에서 백만까지 정할 수 있습니다. 직접 입력하면 일억까지 가능합니다.

노란 계단은 잔액입니다. 지급 사이에는 일정하고, 지급할 때마다 한 계단 올라갑니다. 아래 빨간 눈금은 일 년의 1/n 간격인 지급 시점입니다. 연말에 계단은 다음 값에 도달합니다.

1년 뒤 잔액

\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n}.

$n$ 이 커질수록 계단은 낮아지고 촘촘해져 연말 잔액이 늘어납니다. 하지만 한없이 커지지는 않고, 파란 곡선인 연속복리에 가까워집니다.

그 극한

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n} = e^{r}, \qquad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = e = 2.718281828\ldots

$r = 100\%$ 일 때 극한은 수 $e$ 자체입니다. 이는 그 수의 대표적인 정의 중 하나입니다. 파란 곡선 $e^{rt}$ 는 이자를 연속적으로 더할 때의 잔액입니다.

살펴볼 점

연말 잔액은 $n$ 이 커질수록 항상 늘어나며 $e^{r}$ 보다 항상 작습니다. $n$ 가 크면 차이는 약 $e^{r} r^{2} / (2n)$ 이므로, 지급 횟수가 열 배면 차이는 약 십분의 일이 됩니다. 처음부터 그렇지는 않습니다. 100%에서 1번을 10번으로 늘리면 차이는 원래의 0.17배가 됩니다.
늘어나는 이자의 대부분은 초반에 생깁니다. 100%에서 매년을 매월로 바꾸면 0.61 늘지만, 매월을 매일로 바꾸면 0.10, 매일을 매분으로 바꾸면 0.004만 늘어납니다.
일반적인 이율에서는 주기의 영향이 작습니다. 5%에서 매년은 1.05, 연속복리는 1.0513입니다.
$n$ 가 커지면 열리는 창은 마지막 몇 번의 지급을 가로세로 같은 배율로 확대합니다. 따라서 계단과 $e^{r}$ 까지의 차이가 실제 비율을 유지합니다.

올바르게 읽기

$r$ 은 명목 연이율입니다. 실제로 일 년 동안 얻는 실효 연이율(APY)은 $(1 + r/n)^{n} - 1$ 이며, $n > 1$ 이면 명목 이율보다 높습니다.
일·시간·분 단위 지급은 일 년을 365일로 가정합니다 ( $n = 365$ , 8760, 525 600). 연속복리는 매우 큰 $n$ 이 아니라 극한입니다. 이 페이지는 가장 큰 $n$ 에서 읽은 값 대신 정확한 $e^{r}$ 를 제시합니다.

유래와 쓰임

야코프 베르누이는 1683년에 이 문제를 연구했습니다. 원금 1에 100% 이자를 점점 더 자주 복리로 붙이면 얼마나 될까? 그는 값이 2와 3 사이의 극한, 오늘날 $e$ 라고 부르는 수에 가까워짐을 보였습니다.
현재 양에 비례한 성장을 연속적으로 누적하면 $e^{kt}$ 입니다. 금융의 연속복리뿐 아니라 인구 증가와 방사성 붕괴에도 같은 지수 법칙이 나타납니다.

조작 방법

이율 다이얼과 버튼으로 $r$ 를 정합니다. 복리 주기의 버튼은 이름이 붙은 주기를 선택하며, 슬라이더는 지급 간격 $1/n$ 를 로그 눈금으로 정합니다. 오른쪽으로 밀수록 지급 횟수가 늘어납니다. 값을 클릭하면 직접 입력할 수 있습니다.
n → ∞는 $n$ 를 다음 십의 거듭제곱으로 올린 뒤, 각 십의 거듭제곱을 거쳐 백만에서 멈춥니다. 여전히 극한에는 도달하지 않습니다. 주기 비교는 각 주기의 연말 잔액을 나열합니다. 발표 모드는 프로젝터용 전체 화면입니다. 스페이스로 n → ∞ 실행, ← →로 n을 10으로 나누거나 곱하기, H로 $e^{r}$ 숨기기를 실행합니다.