Logaritma

Logaritma $x$ dengan basis $b$, ditulis $\log_b x$, adalah pangkat $y$ dengan $b^y = x$: berapa kali $b$ harus dikalikan untuk menghasilkan $x$. Logaritma ada untuk $x > 0$, dengan $b > 0$ dan $b \ne 1$. Basis umum adalah 10 ($\log_{10}$, logaritma umum), $e$ ($\ln$, logaritma natural), dan 2. Halaman ini menjelaskan kurva $y = \log_b x$ dengan satu aturan.

Pada sumbu x, rantai titik bermula di $x_0$ dan dikalikan dengan $m$ yang sama berulang kali: $x_0, x_0 m, x_0 m^2, \dots$, serta dibagi dengannya ke arah sebaliknya. Untuk $m > 1$, titik-titik makin berjauhan sepanjang sumbu x (untuk $m < 1$, rantai berjalan ke arah lain), tetapi pada kurva, setiap langkah memiliki tinggi sama $\log_b m$, karena $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$: mengalikan bilangan menjumlahkan logaritmanya. Takik kuning pada sumbu y berjarak merata. Dimulai dari $x_0 = 1$ dengan $m = b$, tingginya 0, 1, 2, 3: logaritma menghitung faktor $b$. Dengan $m = \sqrt b$, dua langkah menghasilkan satu faktor $b$, jadi tiap langkah setinggi ½ — dari situlah pangkat pecahan berasal. Aturan ini membentuk seluruh kurva: melalui $(1, 0)$ dan $(b, 1)$; makin mendatar, karena satu langkah naik lagi membutuhkan faktor sama, rentang sumbu x yang makin panjang; dan pembagian menuju 0 tidak pernah mencapainya, jadi untuk $b > 1$, kurva turun tanpa batas saat $x \to 0^+$.

Pada skala log, bilangan berada di posisi $\log x$. Rantai lalu berjarak merata dan kurva menjadi garis lurus: rasio sama berarti jarak sama. Mistar hitung terdiri dari dua skala demikian: menggeser salah satunya sebesar $\log x_0$ mengalikan setiap bilangan padanya dengan $x_0$, dan hasil kali dapat dibaca dengan mata hingga sekitar tiga digit. Mengubah basis hanya mengubah skala tinggi, $\log_b x = \ln x / \ln b$; untuk $0 < b < 1$, kurva dibalik vertikal, $\log_{1/b} x = -\log_b x$. Dan $\log_b(kx) = \log_b x + \log_b k$: menskalakan kurva menyamping dengan faktor $1/k$ sama dengan menggesernya naik sebesar $\log_b k$.