Transformações de funções

Uma transformação do gráfico de uma função desloca-o, dilata-o, comprime-o ou reflete-o. Com quatro parâmetros, a função transformada é $g(x) = a\,f(b(x - h)) + k$, com $b \ne 0$. Por predefinição, esta página usa uma linha poligonal $f$ sem simetria, para que todas as transformações sejam visíveis; também inclui sete funções de base habituais: $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$, $1/x$, $|x|$, $2^x$ e $\sin x$.

A curva tracejada é o gráfico de base $y = f(x)$; a curva contínua é $y = g(x)$. Um ponto P = $(x_0, f(x_0))$ no gráfico de base e a sua imagem P′ em $g$ estão ligados por setas vermelhas, uma por passo. Todos os pontos do gráfico se movem segundo a mesma regra:

Por que razão o interior atua ao contrário: um ponto $(x, y)$ pertence ao gráfico de $g$ quando $x_0 = b(x - h)$ é uma entrada de $f$ e $y = a\,f(x_0) + k$. Resolvendo em ordem à nova abcissa, obtém-se $x = x_0/b + h$: soma-se o deslocamento $h$, mas divide-se a coordenada anterior por $b$. Assim, $h = 2$ desloca o gráfico para a direita, embora a fórmula mostre $x - 2$, e $b = 2$ reduz a largura a metade. Os parâmetros exteriores atuam diretamente no valor de saída.

Também se escreve $y = f(x + \varphi)$: para $\varphi > 0$, o gráfico desloca-se $\varphi$ para a esquerda, o que aqui corresponde a $h = -\varphi$. A sinusoide $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ também é um caso particular desta página: $a = A$, $b = \omega$, $h = -\varphi/\omega$.

O botão vermelho constrói $g$ a partir de $f$, passo a passo: primeiro dentro dos parênteses (horizontal), depois fora (vertical). No interior há dois caminhos, escolhidos com a alavanca ao lado do botão. Escala primeiro: dividir as abcissas por $b$ (uma dilatação ou compressão horizontal em relação ao eixo y, com reflexão nesse eixo quando $b < 0$), depois somar $h$. Deslocamento primeiro: somar $bh$ às abcissas, depois dividi-las por $b$ — o que também divide o deslocamento, deixando exatamente $h$. No exterior: multiplicar as ordenadas por $a$ (uma dilatação ou compressão vertical em relação ao eixo x, com reflexão nesse eixo quando $a < 0$), depois somar $k$. São omitidos os passos cujo parâmetro não altera nada.

Os dois caminhos terminam no mesmo $g$. Após cada execução, os gráficos intermédios mantêm-se ténues até mudar um parâmetro; mude a alavanca e prima novamente, e os dois percursos ficam lado a lado.

Em cada direção, a alteração de escala vem antes do deslocamento quando este se escreve $h$ ou $k$: deslocar primeiro $h$ e depois dividir as abcissas por $b$ também divide o deslocamento, pelo que o gráfico acaba deslocado $h/b$. (Deslocar primeiro funciona se o deslocamento for $bh$ — o lado Deslocamento da alavanca.) Os passos horizontais e verticais não se afetam mutuamente, pelo que qualquer direção pode vir primeiro.