Transformaciones de funciones

Una transformación de la gráfica de una función la desplaza, la estira o comprime, o la refleja. Con cuatro parámetros, la función transformada es $g(x) = a\,f(b(x - h)) + k$, donde $b \ne 0$. Por defecto, esta página usa una poligonal $f$ sin simetría para que cada transformación sea visible; también incluye siete funciones base habituales: $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$, $1/x$, $|x|$, $2^x$ y $\sin x$.

La curva discontinua es la gráfica base $y = f(x)$; la continua es $y = g(x)$. Un punto P = $(x_0, f(x_0))$ de la base y su imagen P′ en $g$ están unidos por flechas rojas, una por paso. Todos los puntos se mueven según la misma regla:

Por qué lo de dentro actúa al revés: un punto $(x, y)$ está en la gráfica de $g$ cuando $x_0 = b(x - h)$ es una entrada de $f$ y $y = a\,f(x_0) + k$. Despejar la nueva coordenada x da $x = x_0/b + h$: se suma el desplazamiento $h$, pero la coordenada anterior se divide entre $b$. Así, $h = 2$ mueve la gráfica a la derecha aunque la fórmula muestre $x - 2$, y $b = 2$ reduce su anchura a la mitad. Los parámetros externos actúan directamente sobre la salida.

También se escribe $y = f(x + \varphi)$: para $\varphi > 0$, la gráfica se mueve $\varphi$ a la izquierda, que aquí corresponde a $h = -\varphi$. La sinusoide $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ también es un caso particular de esta página: $a = A$, $b = \omega$, $h = -\varphi/\omega$.

El botón rojo construye $g$ a partir de $f$ paso a paso: primero dentro del paréntesis (horizontal) y después fuera (vertical). Dentro hay dos caminos, elegidos con la palanca junto al botón. Escalar primero: dividir las coordenadas x entre $b$ (estiramiento o compresión horizontal respecto al eje y, con reflexión respecto a él si $b < 0$) y después sumar $h$. Desplazar primero: sumar $bh$ a las coordenadas x y después dividirlas entre $b$, lo que también divide el desplazamiento y deja exactamente $h$. Fuera: multiplicar las coordenadas y por $a$ (estiramiento o compresión vertical respecto al eje x, con reflexión respecto a él si $a < 0$) y después sumar $k$. Se omiten los pasos cuyo parámetro no cambia nada.

Ambos caminos terminan en la misma $g$. Después de cada ejecución, las gráficas intermedias permanecen tenues hasta que cambia un parámetro; cambia la palanca y pulsa de nuevo para ver los dos caminos juntos.

En cada dirección, el cambio de escala precede al desplazamiento cuando este se escribe como $h$ o $k$: desplazar primero $h$ y después dividir las coordenadas x entre $b$ también divide el desplazamiento, y la gráfica termina desplazada $h/b$. (Desplazar primero funciona si el desplazamiento es $bh$, el lado Desplazar de la palanca). Los pasos horizontales y verticales no se afectan entre sí, así que cualquiera puede ir primero.