Las transformaciones rígidas en esta visualización
Una transformación rígida del plano (una isometría) conserva todas las distancias: para todos los puntos P y Q. Hay exactamente cuatro tipos: traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones deslizantes. Los dos primeros conservan la orientación de una figura (determinante +1); los dos últimos la invierten (determinante −1), por eso la imagen especular de la huella es un pie izquierdo, dibujado con rayado. Algunos libros reservan el nombre movimiento rígido para los dos primeros; aquí significa cualquier isometría.
La página las construye todas con espejos. Refleja en el espejo 1 y luego en el 2: si los espejos se cortan en C y el ángulo orientado del 1 al 2 es , el resultado es una rotación alrededor de C por el doble de ese ángulo. Si son paralelos, separados por una distancia d, es una traslación de 2d perpendicular a ellos, del espejo 1 hacia el 2; si coinciden, cada punto vuelve a su lugar.
Por qué el doble: un punto P a un ángulo φ del espejo 1, visto desde C, queda en −φ tras la primera reflexión; el espejo 2 está a θ del 1, así que la segunda reflexión lo sitúa en 2θ + φ. Cada punto gira 2θ, sea cual sea φ, y ninguna reflexión cambia su distancia a C. Punto P dibuja estos dos pares de ángulos iguales. Solo importa el ángulo, así que ambos espejos pueden girar juntos alrededor de C sin cambiar el resultado; intercambiarlos gira en el sentido contrario.
En qué fijarse
- Gira el espejo 2 alrededor de su punto hacia la dirección del espejo 1: la intersección C se aleja por el espejo 1 y el giro disminuye; cuando son exactamente paralelos, la rotación se convierte en traslación. Casi paralelos sigue siendo una rotación, alrededor de un centro lejano; una flecha en el borde lo señala y da sus coordenadas. La página conserva todos los ángulos exactamente, hasta una milésima de grado, y decide paralelismo, coincidencia, reflexión o deslizamiento a partir de esos valores exactos, nunca de uno redondeado.
- Un número impar de reflexiones invierte la figura. Tres espejos producen una reflexión deslizante —una reflexión seguida de una traslación a lo largo de su propio eje, el paso de una huella a la siguiente— o una reflexión simple si los tres espejos se cortan en un punto o son todos paralelos.
- Objetivo recorre el argumento al revés: cualquier transformación rígida necesita como máximo tres espejos. El espejo 1 es la mediatriz que lleva A a A′; el 2 lleva la imagen de B a B′ (pasa por A′); y el 3, si aún hace falta, lleva la imagen de C a C′ (pasa por A′ y B′). Se omite un paso si su punto ya está en su lugar: una rotación o traslación requiere dos espejos; una reflexión, uno; una reflexión deslizante, tres.
Controles
- Arrastra el punto de un espejo o el propio espejo para moverlo y su aro para girarlo; al girar, se ajusta cada 15° respecto a los otros espejos, incluido el paralelismo. El dial gira el espejo 2, con la dirección del espejo 1 marcada; las direcciones pueden escribirse en grados (40, 22.5, π/4). En Objetivo, arrastra la huella discontinua, gírala con su aro y voltéala con Voltear o un doble clic.
- Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores: ← → giran 15° y H oculta el resultado de los espejos, mientras estos y las imágenes permanecen.
Conceptos relacionados
Las rotaciones y reflexiones como matrices están en la página de transformación lineal; mover y reflejar gráficas de funciones, en la de transformaciones de funciones; multiplicar por un complejo de módulo 1 es una rotación en la del plano complejo.
Para saber más: Wikipedia: Rigid transformation (Inglés); Wikipedia: Reflection (mathematics) (Inglés); Wikipedia: Glide reflection (Inglés).