Math

Geometri · Katı dönüşüm

Katı dönüşüm

Katı dönüşüm düzlemi hiçbir uzaklığı değiştirmeden hareket ettirir: öteleme, dönme, yansıma veya ötelemeli yansıma. İki aynada yansıtınca dönme, aynalar paralelse öteleme elde edilir.

01

Bu görselleştirmede katı dönüşümler

Düzlemin katı dönüşümü (izometri), her uzaklığı korur: tüm P ve Q noktaları için ∣f(P)f(Q)∣=∣PQ∣|f(P)f(Q)| = |PQ|. Tam dört tür vardır: ötelemeler, dönmeler, yansımalar ve ötelemeli yansımalar. İlk ikisi şeklin yönelimini korur (determinant +1), son ikisi ters çevirir (determinant −1). Bu nedenle ayak izinin ayna görüntüsü çizgili çizilen sol ayaktır. Bazı kitaplar katı hareket adını yalnızca ilk ikisi için kullanır; burada her izometriyi kapsar.

Sayfa hepsini aynalardan kurar. Önce 1., sonra 2. aynada yansıtın: aynalar C'de kesişiyor ve 1'den 2'ye yönlü açı θ2−θ1\theta_2 - \theta_1 ise sonuç C çevresinde bu açının iki katı dönmedir. Paralel ve araları d ise 1. aynadan 2.'ye onlara dik yönde 2d ötelemedir. Çakışıyorlarsa her nokta eski yerine döner.

İki yansıma
kesis¸en: do¨nme ac¸ısı 2(θ2−θ1), merkez C,paralel: o¨teleme miktarı 2d\text{kesişen: dönme açısı } 2(\theta_2 - \theta_1) \text{, merkez } C, \qquad \text{paralel: öteleme miktarı } 2d

Neden iki kat? C'den bakınca 1. aynayla φ açısı yapan P, ilk yansımadan sonra −φ'dedir. 2. ayna 1.'ye göre θ konumundadır; ikinci yansıma P'yi 2θ + φ'ye koyar. φ ne olursa olsun her nokta 2θ döner ve iki yansıma da C'ye uzaklığını değiştirmez. P noktası bu iki eşit açı çiftini çizer. Yalnızca açı önemlidir; iki ayna sonucu değiştirmeden C çevresinde birlikte dönebilir. Sıralarını değiştirmek ters yönde döndürür.

02

Dikkat edilecekler

  • 2. aynayı kendi noktası çevresinde 1.'nin yönüne döndürün: kesişim C, 1. ayna boyunca uzaklaşır ve dönme küçülür; tam paralelde dönme ötelemeye dönüşür. Neredeyse paralel, hâlâ çok uzaktaki merkez çevresinde dönmedir; kenardaki ok merkezi gösterip koordinatlarını verir. Sayfa her açıyı derecenin binde birine kadar tam tutar; paralellik, aynı doğru, yansıma veya ötelemeli yansıma kararını yuvarlanmış değil, bu tam değerlerden verir.
  • Tek sayıda yansıma şekli ters çevirir. Üç ayna ötelemeli yansıma yapar: yansıma ardından kendi ekseni boyunca öteleme, bir ayak izinden sonrakine adım. Üç ayna tek noktada buluşur veya hepsi paralelse yalnızca yansıma olur.
  • Hedef akıl yürütmeyi tersine yapar: her katı dönüşüm en fazla üç ayna gerektirir. 1. ayna A'yı A′'ye gönderen orta dikmedir; 2. ayna B'nin görüntüsünü B′'ye gönderir (A′'den geçer); hâlâ gerekliyse 3. ayna C'nin görüntüsünü C′'ye gönderir (A′ ve B′'den geçer). Noktası zaten yerinde olan adım atlanır: dönme veya öteleme iki, yansıma bir, ötelemeli yansıma üç ayna alır.
03

Kontroller

  • Taşımak için aynanın noktasını veya kendisini, döndürmek için halkasını sürükleyin. Dönen ayna diğerlerine göre her 15°'de, paralel dahil tutunur. Kadran, üzerinde 1. aynanın yönü işaretli olarak 2. aynayı döndürür; yönler dereceyle yazılabilir (40, 22.5, π/4). Hedef modunda kesikli ayak izini sürükleyin, halkasıyla döndürün, Ters çevir veya çift tıklamayla ters çevirin.
  • Sunum modu, projektörler için tam ekran görünümü açar: ← → 15° döndürür, H aynalar ve görüntüler kalırken sonucu gizler.
04

İlgili konular

Matris olarak dönme ve yansımalar doğrusal dönüşüm sayfasında; fonksiyon grafiklerini taşıma ve yansıtma fonksiyon dönüşümü sayfasında; modülü 1 karmaşık sayıyla çarpmanın dönme olması karmaşık düzlem sayfasındadır.

Ek okumalar: Vikipedi: Rigid transformation (İngilizce); Vikipedi: Reflection (mathematics) (İngilizce); Vikipedi: Glide reflection (İngilizce).