등거리변환: 인터랙티브 시각화

이 시각화에서 살펴보는 등거리변환

평면의 등거리변환(또는 등거리사상)은 모든 거리를 유지합니다. 모든 점 P, Q에 대해 $|f(P)f(Q)| = |PQ|$ 입니다. 종류는 정확히 네 가지로 평행이동, 회전, 대칭이동, 미끄럼대칭입니다. 앞의 둘은 도형의 앞뒤를 유지하고(행렬식 +1), 뒤의 둘은 뒤집습니다(행렬식 −1). 그래서 발자국의 거울상은 빗금 친 왼발입니다. 일부 책에서는 강체 운동이라는 말을 앞의 두 종류에만 쓰지만, 여기서는 모든 등거리변환을 뜻합니다.

이 페이지는 모든 등거리변환을 거울로 만듭니다. 거울 1, 이어서 거울 2로 대칭이동합니다. 두 거울이 C에서 만나고 거울 1에서 거울 2로의 유향각이 $\theta_2 - \theta_1$ 이면, 결과는 C를 중심으로 그 각도의 두 배만큼 회전한 것입니다. 서로 평행하고 거리가 d이면, 거울에 수직으로 거울 1에서 거울 2를 향해 2d만큼 평행이동합니다. 겹쳐 있으면 모든 점이 제자리로 돌아갑니다.

두 번의 대칭이동

\text{교차: } 2(\theta_2 - \theta_1) \text{만큼 회전, 중심 } C, \qquad \text{평행: } 2d\text{만큼 이동}

왜 두 배일까요? C에서 볼 때 거울 1과 φ를 이루는 점 P는 첫 대칭이동 후 −φ에 놓입니다. 거울 2는 거울 1과 θ를 이루므로, 두 번째 대칭이동 후에는 2θ + φ가 됩니다. φ와 무관하게 모든 점이 2θ만큼 회전하며, 어느 대칭이동도 C까지의 거리를 바꾸지 않습니다. 점 P는 서로 같은 각 두 쌍을 그립니다. 사이각만 중요하므로 두 거울을 C 주위로 함께 돌려도 결과는 같습니다. 순서를 바꾸면 반대로 회전합니다.

살펴볼 점

거울 2를 자신의 점 주위로 돌려 거울 1의 방향에 가깝게 해 보세요. 교점 C는 거울 1을 따라 멀리 달아나고 회전각은 줄어들다가, 정확히 평행해지면 회전이 평행이동으로 바뀝니다. 거의 평행한 경우는 여전히 아주 먼 중심 주위의 회전입니다. 가장자리 화살표가 그 중심의 방향과 좌표를 알려 줍니다. 페이지는 모든 각도를 천분의 일 도까지 정확히 유지하며, 평행 여부·같은 직선 여부·대칭이동·미끄럼대칭을 반올림된 값이 아닌 정확한 값으로 판정합니다.
홀수 번의 대칭이동은 도형을 뒤집습니다. 거울 세 개는 대칭이동 후 그 대칭축을 따라 평행이동하는 미끄럼대칭을 만듭니다. 발자국 하나에서 다음 발자국으로 가는 움직임입니다. 세 거울이 한 점에서 만나거나 모두 평행하면 단순한 대칭이동이 됩니다.
목표는 논리를 거꾸로 따라갑니다. 어떤 등거리변환도 거울이 최대 세 개면 됩니다. 거울 1은 A를 A′으로 보내는 수직이등분선입니다. 거울 2는 B의 상을 B′으로 보내며 A′을 지납니다. 그래도 필요하면 거울 3이 C의 상을 C′으로 보내며 A′과 B′을 지납니다. 점이 이미 제자리에 있으면 그 단계는 건너뜁니다. 회전과 평행이동은 두 개, 대칭이동은 한 개, 미끄럼대칭은 세 개의 거울이 필요합니다.

조작 방법

거울의 점이나 거울 자체를 드래그하면 이동하고, 고리를 드래그하면 회전합니다. 회전 중인 거울은 다른 거울과의 각도가 15°의 배수일 때 평행을 포함해 맞춰 붙습니다. 다이얼은 거울 2를 돌리며 거울 1의 방향을 표시합니다. 방향은 도 단위로 입력할 수 있습니다(40, 22.5, π/4). 목표에서는 점선 발자국을 드래그하고 고리로 회전하며, 뒤집기나 두 번 누르기로 뒤집으세요.
발표 모드는 프로젝터용 전체 화면을 엽니다. ← →로 15°씩 회전하고, H로 거울과 상은 남겨 둔 채 결과 변환을 숨깁니다.

이 시각화에서 살펴보는 등거리변환

살펴볼 점

조작 방법

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