Les isométries dans cette visualisation
Une transformation rigide du plan (une isométrie) conserve toutes les distances : pour tous points P et Q. Il en existe exactement quatre types : translations, rotations, symétries axiales et symétries glissées. Les deux premiers conservent l’orientation d’une figure (déterminant +1) ; les deux derniers la retournent (déterminant −1), d’où l’image miroir de l’empreinte, un pied gauche hachuré. Certains ouvrages réservent « déplacement rigide » aux deux premiers ; ici, le terme désigne toute isométrie.
La page les construit toutes avec des miroirs. Appliquez la symétrie du miroir 1, puis celle du miroir 2 : si les miroirs se coupent en C et que l’angle orienté du premier au second est , le résultat est une rotation autour de C d’angle double. S’ils sont parallèles, à distance d, c’est une translation de 2d, perpendiculaire aux miroirs, du miroir 1 vers le miroir 2 ; s’ils coïncident, chaque point revient à sa place.
Pourquoi le double : vu de C, un point P faisant un angle φ avec le miroir 1 est à −φ après la première symétrie ; le miroir 2 est à θ du premier, donc la seconde symétrie le place à 2θ + φ. Chaque point tourne de 2θ, quel que soit φ, et aucune symétrie ne change sa distance à C. Point P dessine ces deux paires d’angles égaux. Seul l’angle compte : les deux miroirs peuvent donc tourner ensemble autour de C sans changer le résultat ; les permuter inverse le sens de rotation.
À observer
- Tournez le miroir 2 autour de son point vers la direction du miroir 1 : l’intersection C s’éloigne le long du miroir 1 et l’angle de rotation diminue ; lorsqu’ils sont exactement parallèles, la rotation est devenue une translation. Presque parallèle donne encore une rotation, autour d’un centre lointain ; une flèche au bord l’indique avec ses coordonnées. La page conserve chaque angle exactement, au millième de degré, et détermine parallélisme, coïncidence, symétrie axiale ou glissée à partir de ces valeurs exactes, jamais d’un arrondi.
- Un nombre impair de symétries retourne la figure. Trois miroirs donnent une symétrie glissée — une symétrie suivie d’une translation le long de son propre axe, le pas d’une empreinte à la suivante sur une piste — ou une simple symétrie axiale si les trois miroirs sont concourants ou tous parallèles.
- Cible inverse le raisonnement : toute isométrie nécessite au plus trois miroirs. Le miroir 1 est la médiatrice qui envoie A sur A′ ; le miroir 2 envoie l’image de B sur B′ (il passe par A′) ; le miroir 3, si nécessaire, envoie l’image de C sur C′ (il passe par A′ et B′). Une étape dont le point est déjà en place est ignorée : une rotation ou une translation demande deux miroirs, une symétrie axiale un, une symétrie glissée trois.
Commandes
- Déplacez le point d’un miroir ou le miroir lui-même pour le translater, et son anneau pour le tourner ; il s’aligne tous les 15° par rapport aux autres miroirs, y compris en position parallèle. Le cadran tourne le miroir 2 et porte la direction du miroir 1 ; les directions peuvent être saisies en degrés (40, 22.5, π/4). Dans Cible, déplacez l’empreinte en pointillés, tournez-la avec son anneau et retournez-la avec Retourner ou un double-clic.
- Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran pour la projection : ← → tournent de 15°, H masque la transformation produite, tandis que les miroirs et les images restent visibles.
Voir aussi
Les rotations et les symétries sous forme matricielle sont sur la page des applications linéaires ; les déplacements et les symétries de courbes, sur celle des transformations de fonctions ; multiplier par un complexe de module 1 est une rotation sur la page du plan complexe.
Pour aller plus loin: Wikipédia: Rigid transformation (Anglais); Wikipédia: Reflection (mathematics) (Anglais); Wikipédia: Glide reflection (Anglais).