Kongruenzabbildungen in dieser Visualisierung
Eine Kongruenzabbildung der Ebene (eine Isometrie) erhält jeden Abstand: für alle Punkte P und Q. Es gibt genau vier Arten: Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen und Gleitspiegelungen. Die ersten beiden erhalten die Orientierung einer Figur (Determinante +1), die letzten beiden kehren sie um (Determinante −1). Deshalb ist das Spiegelbild des Fußabdrucks ein linker Fuß und wird schraffiert gezeichnet. Manche Bücher verwenden „starre Bewegung“ nur für die ersten beiden; hier sind alle Isometrien gemeint.
Die Seite baut alle aus Spiegelungen auf. Spiegele an Spiegel 1, dann an Spiegel 2: Schneiden sich die Spiegel in C und beträgt der gerichtete Winkel von Spiegel 1 zu Spiegel 2 , entsteht eine Drehung um C mit dem doppelten Winkel. Sind sie parallel im Abstand d, entsteht eine Verschiebung um 2d senkrecht zu ihnen, von Spiegel 1 in Richtung Spiegel 2. Fallen sie zusammen, kehrt jeder Punkt an seinen Ausgangsort zurück.
Warum doppelt: Ein von C aus gesehener Punkt P im Winkel φ zu Spiegel 1 liegt nach der ersten Spiegelung bei −φ. Spiegel 2 liegt im Winkel θ zu Spiegel 1; die zweite Spiegelung bringt P deshalb zu 2θ + φ. Jeder Punkt dreht sich um 2θ, unabhängig von φ, und keine Spiegelung ändert seinen Abstand von C. Punkt P zeichnet diese beiden Paare gleicher Winkel. Nur der Zwischenwinkel zählt; beide Spiegel können daher gemeinsam um C gedreht werden, ohne das Ergebnis zu ändern. Vertauscht man sie, kehrt sich die Drehrichtung um.
Was auffällt
- Drehe Spiegel 2 um seinen Punkt in Richtung von Spiegel 1: Der Schnittpunkt C wandert entlang Spiegel 1 in die Ferne, während der Drehwinkel schrumpft. Bei exakt parallelen Spiegeln wird aus der Drehung eine Verschiebung. Fast parallel bedeutet weiterhin eine Drehung, um ein weit entferntes Zentrum. Ein Pfeil am Rand zeigt darauf und nennt seine Koordinaten. Die Seite hält jeden Winkel auf ein Tausendstel Grad exakt fest. Parallelität, zusammenfallende Geraden, Spiegelung oder Gleitspiegelung werden anhand dieser exakten Werte entschieden, nie anhand gerundeter Anzeigen.
- Eine ungerade Anzahl von Spiegelungen kehrt die Orientierung der Figur um. Drei Spiegel ergeben eine Gleitspiegelung — eine Spiegelung mit anschließender Verschiebung entlang ihrer eigenen Achse, wie ein Schritt von einem Fußabdruck zum nächsten — oder eine einfache Spiegelung, wenn alle drei Spiegel durch einen Punkt gehen oder parallel sind.
- Ziel führt das Argument rückwärts aus: Jede Kongruenzabbildung benötigt höchstens drei Spiegel. Spiegel 1 ist die Mittelsenkrechte, die A auf A′ abbildet. Spiegel 2 bildet das Bild von B auf B′ ab und geht durch A′. Spiegel 3 bildet, falls noch nötig, das Bild von C auf C′ ab und geht durch A′ und B′. Ein bereits richtig liegender Punkt überspringt seinen Schritt: Eine Drehung oder Verschiebung benötigt zwei Spiegel, eine Spiegelung einen, eine Gleitspiegelung drei.
Bedienung
- Ziehe den Punkt eines Spiegels oder den Spiegel selbst zum Verschieben, seinen Ring zum Drehen. Beim Drehen rastet er alle 15° relativ zu den anderen Spiegeln ein, auch parallel. Die Winkelskala dreht Spiegel 2; die Richtung von Spiegel 1 ist markiert. Winkel lassen sich eingeben (40, 22.5, π/4). Unter Ziel ziehst du den gestrichelten Fußabdruck, drehst ihn am Ring und klappst ihn mit Umklappen oder einem Doppelklick um.
- Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht für Projektoren: ← → drehen um 15°, H blendet die resultierende Abbildung aus; Spiegel und Zwischenbilder bleiben sichtbar.
Verwandte Themen
Drehungen und Spiegelungen als Matrizen findest du auf der Seite zur linearen Transformation, das Verschieben und Spiegeln von Funktionsgraphen auf der Seite zu Funktionstransformationen. Multiplikation mit einer komplexen Zahl vom Betrag 1 ist eine Drehung auf der Seite zur komplexen Ebene.
Weiterführende Literatur: Wikipedia: Rigid transformation (Englisch); Wikipedia: Reflection (mathematics) (Englisch); Wikipedia: Glide reflection (Englisch).