Transformações rígidas nesta visualização
Uma transformação rígida do plano (uma isometria) conserva todas as distâncias: para quaisquer pontos P e Q. Existem exatamente quatro tipos: translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes. Os dois primeiros preservam a orientação de uma figura (determinante +1); os dois últimos invertem-na (determinante −1), razão pela qual a imagem refletida da pegada é um pé esquerdo, desenhado com tracejado. Alguns livros reservam o nome movimento rígido para os dois primeiros; aqui, designa qualquer isometria.
A página constrói-as todas com espelhos. Reflita no espelho 1 e depois no espelho 2: se os espelhos se cruzarem em C e o ângulo orientado do espelho 1 ao espelho 2 for , o resultado é uma rotação em torno de C pelo dobro desse ângulo. Se forem paralelos e estiverem à distância d, é uma translação de 2d, perpendicular aos espelhos, no sentido do espelho 1 para o espelho 2; se coincidirem, todos os pontos regressam ao lugar inicial.
Porquê o dobro: um ponto P a um ângulo φ do espelho 1, visto de C, fica a −φ após a primeira reflexão; o espelho 2 está a θ do espelho 1, pelo que a segunda reflexão o coloca em 2θ + φ. Todos os pontos rodam de 2θ, qualquer que seja φ, e nenhuma reflexão altera a distância a C. Ponto P desenha estes dois pares de ângulos iguais. Só o ângulo importa, pelo que ambos os espelhos podem rodar juntos em torno de C sem alterar o resultado; trocar a ordem inverte o sentido da rotação.
O que observar
- Rode o espelho 2 em torno do seu ponto em direção à orientação do espelho 1: o ponto de interseção C afasta-se ao longo do espelho 1 e a rotação diminui; quando ficam exatamente paralelos, a rotação transforma-se numa translação. Quase paralelos continua a dar uma rotação, em torno de um centro distante; uma seta na margem aponta para ele e indica as coordenadas. A página guarda cada ângulo de forma exata, até à milésima de grau, e decide o paralelismo, a coincidência, a reflexão ou a reflexão deslizante a partir desses valores exatos, nunca de valores arredondados.
- Um número ímpar de reflexões inverte a figura. Três espelhos produzem uma reflexão deslizante — uma reflexão seguida de uma translação ao longo do próprio eixo, o passo de uma pegada para a seguinte num rasto — ou uma reflexão simples quando os três espelhos se encontram num ponto ou são todos paralelos.
- Alvo inverte o raciocínio: qualquer transformação rígida precisa, no máximo, de três espelhos. O espelho 1 é a mediatriz que leva A a A′; o espelho 2 leva a imagem de B a B′ (passa por A′); e o espelho 3, se ainda for necessário, leva a imagem de C a C′ (passa por A′ e B′). Se um ponto já estiver no lugar certo, esse passo é omitido: uma rotação ou translação usa dois espelhos, uma reflexão usa um e uma reflexão deslizante usa três.
Controlos
- Arraste o ponto de um espelho ou o próprio espelho para o mover, e o anel para o rodar; durante a rotação, encaixa a cada 15° em relação aos outros espelhos, incluindo a posição paralela. O seletor roda o espelho 2, com a direção do espelho 1 assinalada; pode introduzir direções em graus (40, 22.5, π/4). Em Alvo, arraste a pegada tracejada, rode-a pelo anel e inverta-a com Inverter ou um duplo clique.
- O modo de apresentação abre uma vista em ecrã inteiro para projetores: ← → rodam em passos de 15°, e H oculta a transformação produzida pelos espelhos, mantendo os espelhos e as imagens.
Relacionados
As rotações e reflexões como matrizes estão na página da transformação linear; os deslocamentos e reflexões de gráficos de funções, na página das transformações de funções; multiplicar por um número complexo de módulo 1 corresponde a uma rotação na página do plano complexo.
Para saber mais: Wikipédia: Rigid transformation (Inglês); Wikipédia: Reflection (mathematics) (Inglês); Wikipédia: Glide reflection (Inglês).