Función cuadrática: visualización interactiva

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Las funciones cuadráticas en esta visualización

Una función cuadrática es una función $f(x) = ax^2 + bx + c$ con $a \ne 0$ . Su gráfica es una parábola, que se abre hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$ . Esta página escribe una cuadrática en tres formas equivalentes: el dial de modo de la parte superior del panel elige cuál ajustas, y las tres se mantienen sincronizadas al arrastrar la gráfica o girar los controles.

Forma general · canónica · factorizada

y = ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k = a(x - x_1)(x - x_2)

Cada forma muestra un rasgo de la gráfica. En la forma general, $c$ da el corte con el eje y: la gráfica cruza ese eje en el punto hueco $(0, c)$ ; su imagen especular $(2h, c)$ muestra la simetría. La forma canónica muestra el vértice $(h, k)$ y el eje de simetría $x = h$ . La forma factorizada muestra las raíces, donde la gráfica corta el eje x; sobre los números reales solo existe cuando el discriminante no es negativo.

Vértice y raíces a partir de a, b, c

h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a},\qquad \Delta = b^2 - 4ac,\quad r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Completar el cuadrado: de la forma general a la canónica

\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{aligned}

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En qué fijarse

Completar el cuadrado es una traslación: los tres pasos anteriores convierten la forma general en la canónica, y $a(x - h)^2 + k$ es $y = ax^2$ desplazada $h$ sobre el eje x y $k$ hacia arriba o abajo. Girar $h$ o $k$ en la forma canónica, o arrastrar el vértice, dibuja $y = ax^2$ y los dos desplazamientos.
$\Delta > 0$ : dos raíces reales; $\Delta = 0$ : una raíz doble, el vértice en el eje; $\Delta < 0$ : sin raíces reales; la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ tiene entonces dos raíces complejas conjugadas, que no son puntos de esta gráfica.
$a$ es el mismo número en las tres formas: determina la anchura de la parábola y hacia dónde se abre. Girar solo $b$ no desliza la gráfica lateralmente; el vértice recorre la parábola $y = c - ax^2$ . Girar solo $a$ mantiene algo distinto en cada forma: en la general, $(0, c)$ y la tangente $y = bx + c$ en él quedan fijos —todas las parábolas tocan esa recta en ese punto— y el vértice recorre la recta $y = c + \tfrac{b}{2}x$ ; en la canónica, queda fijo el vértice; en la factorizada, quedan fijas las raíces y el vértice recorre el eje de simetría.
La página calcula con fracciones exactas, así que las formas muestran decimales, fracciones o raíces cuadradas exactos. Un número demasiado largo se redondea y su ecuación se escribe entonces con ≈. Los dos ejes comparten escala salvo en la vista de la pelota lanzada; una nota en la gráfica avisa cuando no es así.

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Controles

El dial de modo elige la forma que ajustas: la general fija $a$ , $b$ y $c$ (mandos); la canónica, $a$ y el vértice $(h, k)$ ; la factorizada, $a$ y las dos raíces (ruedas para pasos finos); sin raíces reales, la posición factorizada queda bloqueada. Abre Detalles de conversión para ver los valores de las otras dos formas con las fórmulas de los libros.
Tomar un punto de la gráfica cambia a su forma. Arrastra el vértice para mover la parábola, una raíz a lo largo del eje x ( $a$ y la otra raíz quedan fijos; si la otra raíz es irracional, primero se escribe con seis decimales, un cambio imperceptible; una raíz doble mueve toda la parábola lateralmente), o el corte con el eje y por ese eje (solo cambia $c$ ); arrastra en otro lugar para desplazar la vista. Haz clic en cualquier número para escribirlo como decimal o fracción, por ejemplo 3/4.
Modo presentación abre una vista a pantalla completa para proyectores (las flechas mueven la parábola; H oculta las respuestas: solo permanecen los números de la forma que ajustas y las otras dos formas y conversiones muestran interrogantes).

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Conceptos relacionados

Para saber más: Wikipedia: Quadratic function (Inglés); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 5.1 Quadratic Functions (Inglés).