二次函數：互動視覺化

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這個視覺化中的二次函數

二次函數是滿足 $a \ne 0$ 的函數 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 。圖形是拋物線， $a > 0$ 時開口向上， $a < 0$ 時開口向下。本頁將同一個二次函數寫成三種等價形式：面板頂端的模式轉盤選擇要調整哪種形式；拖曳圖形或轉動控制器時，三者都保持同步。

一般式 · 頂點式 · 因式分解式

y = ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k = a(x - x_1)(x - x_2)

每種形式都直接顯示圖形的一個特徵。一般式中的 $c$ 給出 y 截距：圖形在空心點 $(0, c)$ 穿過 y 軸；其鏡像點 $(2h, c)$ 呈現對稱性。頂點式顯示頂點 $(h, k)$ 與對稱軸 $x = h$ 。因式分解式顯示根，也就是圖形與 x 軸相交的位置；在實數範圍內，只有判別式不為負時才有這種形式。

由 a、b、c 求頂點與根

h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a},\qquad \Delta = b^2 - 4ac,\quad r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

配方法：從一般式到頂點式

\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{aligned}

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值得觀察的地方

配方法對應平移：上方三步把一般式變成頂點式，而 $a(x - h)^2 + k$ 就是將 $y = ax^2$ 沿 x 軸移動 $h$ 、再上下移動 $k$ 。調整頂點式的 $h$ 或 $k$ ，或拖曳頂點，會畫出 $y = ax^2$ 及兩次平移。
$\Delta > 0$ ：兩個實根； $\Delta = 0$ ：一個二重根，頂點在軸上； $\Delta < 0$ ：無實根，此時方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 有兩個共軛複根，它們不是這張圖上的點。
$a$ 在三種形式中都是同一個數，決定拋物線的寬窄與開口方向。只調整 $b$ ，並非將圖形左右平移；頂點會沿拋物線 $y = c - ax^2$ 移動。只調整 $a$ 時，各形式保留的量不同：一般式中， $(0, c)$ 及該處切線 $y = bx + c$ 不動，每條拋物線都在該點與此線相切，而頂點沿直線 $y = c + \tfrac{b}{2}x$ 移動；頂點式中，頂點不動；因式分解式中，根不動，頂點沿對稱軸移動。
本頁以精確分數計算，因此各形式會顯示精確小數、分數或平方根。數字太長而無法完整顯示時，會四捨五入，等式也改用 ≈。除了拋球精選視角，兩軸採用相同刻度；刻度不同時，圖上都會註明。

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操作方式

模式轉盤選擇調整的形式：一般式設定 $a$ 、 $b$ 、 $c$ （旋鈕）；頂點式設定 $a$ 及頂點 $(h, k)$ ；因式分解式設定 $a$ 與兩個根（以微調輪精細調整）。沒有實根時，無法切換到因式分解式。開啟換算詳情，可查看其他兩種形式的數值及教科書公式。
抓取圖上的點，會切換到相應形式。拖曳頂點可移動拋物線；沿 x 軸拖曳一個根時， $a$ 與另一個根保持不變（若另一個根為無理數，會先取至小數點後六位，變化小到看不見；拖曳重根則會左右平移整條拋物線）；沿 y 軸拖曳 y 截距時，只有 $c$ 改變。在其他位置拖曳可平移視圖。點選任一數字可輸入小數或 3/4 等分數。
簡報模式開啟適合投影的全螢幕視圖（方向鍵移動拋物線；H 隱藏答案：只保留目前調整形式的數字，其他兩種形式及換算顯示問號）。

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這個視覺化中的二次函數

值得觀察的地方

操作方式

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