İkinci Derece Fonksiyon: Etkileşimli Görselleştirme

01

Bu görselleştirmede ikinci derece fonksiyonlar

İkinci derece fonksiyon, $a \ne 0$ koşulunu sağlayan $f(x) = ax^2 + bx + c$ fonksiyonudur. Grafiği $a > 0$ iken yukarı, $a < 0$ iken aşağı açılan paraboldür. Sayfa bir ikinci derece fonksiyonu üç eşdeğer biçimde yazar: panelin üstündeki mod kadranı ayarladığınız biçimi seçer; grafiği sürüklerken veya kontrolleri çevirirken üçü birlikte değişir.

Standart · tepe · çarpanlı biçim

y = ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k = a(x - x_1)(x - x_2)

Her biçim grafiğin bir özelliğini gösterir. Standart biçimde $c$ , y kesişimini verir: grafik y eksenini boş $(0, c)$ noktasında keser; ayna noktası $(2h, c)$ simetriyi gösterir. Tepe biçimi tepeyi $(h, k)$ ve simetri eksenini $x = h$ gösterir. Çarpanlı biçim grafiğin x ekseniyle buluştuğu kökleri gösterir; gerçek sayılarda yalnızca diskriminant negatif değilse vardır.

a, b, c'den tepe ve kökler

h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a},\qquad \Delta = b^2 - 4ac,\quad r_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

Kareye tamamlama: standarttan tepe biçimine

\begin{aligned} ax^2 + bx + c &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c \\ &= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a} \end{aligned}

02

Dikkat edilecekler

Kareye tamamlama bir ötelemedir: yukarıdaki üç adım standart biçimi tepe biçimine çevirir; $a(x - h)^2 + k$ , $y = ax^2$ grafiğinin x ekseninde $h$ , yukarı veya aşağı $k$ taşınmış halidir. Tepe biçiminde $h$ veya $k$ değerini çevirmek ya da tepeyi sürüklemek $y = ax^2$ ve iki hareketi çizer.
$\Delta > 0$ : iki gerçek kök; $\Delta = 0$ : bir çift katlı kök, tepe eksende; $\Delta < 0$ : gerçek kök yok. Bu durumda $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminin iki eşlenik karmaşık kökü vardır; bunlar bu grafiğin noktaları değildir.
$a$ üç biçimde de aynı sayıdır: parabolün genişliğini ve açıldığı yönü belirler. Yalnızca $b$ çevirmek grafiği yana kaydırmaz; tepe $y = c - ax^2$ parabolünde ilerler. Yalnızca $a$ çevirmek her biçimde farklı şeyi sabit tutar: standart biçimde $(0, c)$ ve oradaki $y = bx + c$ teğeti kalır; her parabol o noktada doğruya teğettir ve tepe $y = c + \tfrac{b}{2}x$ doğrusunda ilerler. Tepe biçiminde tepe kalır; çarpanlı biçimde kökler kalır ve tepe simetri ekseninde ilerler.
Sayfa tam kesirlerle hesaplar; biçimler tam ondalıkları, kesirleri veya karekökleri gösterir. Gösterilemeyecek kadar uzun sayı yuvarlanır, eşitliği ≈ ile yazılır. Atılan top örneği dışında iki eksen aynı ölçektedir; farklı olduklarında grafikte bir not belirtir.

03

Kontroller

Mod kadranı ayarladığınız biçimi seçer: standart biçim $a$ , $b$ , $c$ (düğmeler); tepe biçimi $a$ ve $(h, k)$ tepesi; çarpanlı biçim $a$ ve iki kök (ince adımlar için çarklar). Gerçek kök yoksa çarpanlı konum kilitlidir. Diğer iki biçimin sayılarını ders kitabı formülleriyle görmek için Dönüştürme ayrıntıları açın.
Grafikte noktayı tutmak onun biçimine geçer. Parabolü taşımak için tepeyi sürükleyin; kökü x ekseninde sürükleyin ( $a$ ve diğer kök sabit kalır; diğer kök irrasyonelse önce altı ondalıkla yazılır, görülemeyecek kadar küçük bir değişim; çift katlı kök tüm parabolü yana taşır) veya y kesişimini y ekseninde sürükleyin (yalnızca $c$ değişir). Kaydırmak için başka yeri sürükleyin. Sayıyı ondalık veya 3/4 gibi kesir olarak yazmak için tıklayın.
Sunum modu, projektörler için tam ekran görünümü açar (ok tuşları parabolü taşır; H yanıtları gizler: yalnızca ayarlanan biçimin sayıları kalır, diğer iki biçim ve dönüşümler soru işareti gösterir).

04

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Quadratic function (İngilizce); OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 5.1 Quadratic Functions (İngilizce).