Konik Kesit: Etkileşimli Görselleştirme

Bu görselleştirmede konik kesitler

Konik kesit (veya konik), bir düzlemin çift koniyle kesiştiği eğridir. Çift koni, tepe noktasında birleşen, tek bir eksen çevresinde iki yönde sonsuza uzanan iki koniden oluşur. Koninin yarı açısı $\alpha$ , eksenle ana doğruları arasındaki açıdır. Düzlem eksenle $\beta$ açısı yapar (eksene paralel $0^\circ$ ile eksene dik $90^\circ$ arasında) ve tepeden $d$ uzaktadır. Her kesit çember, elips, parabol veya hiperboldür; düzlem tepeden geçiyorsa nokta, bir doğru veya iki doğru olur.

Eğrinin türünü tek sayı belirler

e = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha} \qquad \beta > \alpha:\ e < 1 \qquad \beta = \alpha:\ e = 1 \qquad \beta < \alpha:\ e > 1

Düzlemi $90^\circ$ açısından aşağı doğru döndürün. Çember ( $e = 0$ ) giderek uzayan bir elipse dönüşür. Düzlem koninin bir ana doğrusuna paralel olduğu anda ( $\beta = \alpha$ ), uzak uç sonsuza gider ve eğri parabol olur. Biraz daha döndürünce düzlem diğer koniye de ulaşır; ikinci dal sonsuzdan gelir: hiperbol. Gerçek şekil penceresi, kesiti sabit ölçekte dik açıdan gösterir; tepeye en yakın noktası olan yakın uç sabit tutulduğu için uzak ucun pencereden çıkışı görülebilir. Eğri türü tam olarak yazılan açılardan belirlenir: $\alpha = 30^\circ$ karşısında $\beta = 30.01^\circ$ , parabol değil, $e \approx 0.9999$ olan bir elipstir.

Odaklar nereden gelir?

Dandelin küreleri koninin içindedir; her biri koniye bir çember boyunca, düzleme ise tek bir noktada değer. Bu noktalar $F_1$ ve $F_2$ odaklarıdır. Eğri üzerindeki $P$ noktasından aynı küreye çizilen bütün teğet parçaları eşit uzunluktadır. Bu yüzden $PF_1$ , $P$ noktasından geçen ana doğru boyunca ilk temas çemberine uzaklığa; $PF_2$ ise ikinciye uzaklığa eşittir.
Elipste iki küre aynı koninin içindedir ve $P$ çemberler arasında bulunur. Dolayısıyla $PF_1 + PF_2$ , çemberler arasındaki ana doğru parçasının her $P$ için aynı olan uzunluğudur: $2a$ . Hiperbolde küreler karşıt konilerdedir ve $|PF_1 - PF_2| = 2a$ olur. Parabolde yalnızca bir küreye yer vardır.
Doğrultman, kesme düzleminin bir temas çemberinin düzlemiyle kesiştiği doğrudur. $P$ noktasının odağa ve doğrultmana uzaklıkları aynı $PF_1 / PD_1 = e$ oranını korur; parabolde eşittirler. Çemberin doğrultmanı yoktur: iki düzlem paraleldir.

Yanlış yorumlanmaması gerekenler

Perspektif, 3B görünümde çemberi elips gibi gösterir; gerçek şekil penceresi veya Kesite dik bak gerçek biçimi gösterir. Pencerenin ölçeği kendiliğinden değişmez; altındaki sayılar uzak ucun veya diğer dalın nerede olduğunu söyler.
Koni yalnızca tepe yakınında çizilir ve uçlarında soluklaşır; gerçekte sonsuza uzanır. Uzun elipsin ucu ne kadar uzakta olursa olsun eğri kapalıdır. Parabol elipsin yarısı değildir: hiç uzak ucu yoktur.
Eğrinin türü ve $\beta$ ile $\alpha$ arasındaki ilişki kesindir; $e$ , uzunluklar ve uzaklıklar hesaplanır ve ≈ ile işaretlenir. Cam, soluk çizgiler ve soluklaşma yalnızca gösterim içindir.

Kontroller

$\beta$ açısını düğmesiyle çevirin veya düzlemdeki mavi tutamacı sürükleyin; $\alpha$ ve $90^\circ$ değerlerine tutunur. Çark düzlemi taşır; $d = 0$ onu tepeden geçirir. Açılar derece veya π katlarıyla yazılabilir. Küreler ya da doğrultmanlar açıkken $P$ noktasını eğri boyunca sürükleyin. Sunum modu tam ekran görünümü açar: ← → düzlemi döndürür, ↑ ↓ taşır.

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Conic section (İngilizce); Vikipedi: Dandelin spheres (İngilizce); OpenStax, Precalculus 2e, 10.5 Conic Sections in Polar Coordinates (İngilizce).