Math

Diferansiyel ve integral hesap · Dönel cisim

Dönel cisim

Dönel cisim, düzlemsel bölgenin kendi düzlemindeki eksen çevresinde bir tam tur dönmesiyle oluşur. İnce şeridi sürükleyin: eksene dikse halka, paralelse silindir oluşturur; iki şekilde de parçalar aynı hacmi verir.

01

Bu görselleştirmede dönel cisimler

Dönel cisim, düzlemsel bölgenin kendi düzlemindeki eksen denilen doğru çevresinde bir tur dönerek oluşturduğu cisimdir. Burada eksen sınırına değebilse de bölgenin dışında kalır. Hacim ince kesitlerden iki yolla toplanır: eksene dik kesitler disk veya halkadır (disk veya halka yöntemi), paralel kesitler silindirik kabuktur (kabuk yöntemi). Sayfa yatay ve düşey eksenler çevresinde torus, koni ve Gabriel'in borusu dahil altı bölge gösterir.

Tek hacim, iki toplama sırası ve Pappus teoremi
V=∫π(R2−r2)dx=∫2πρ h(ρ) dρ=∬bo¨lge2πρ dA=2πρˉ AV = \int \pi\left(R^2 - r^2\right) dx = \int 2\pi\rho\, h(\rho)\, d\rho = \iint_{\text{bölge}} 2\pi\rho \, dA = 2\pi\bar\rho\, A

Şeridin kalınlığı yoktur. Eksene dikken π(R2−r2)\pi(R^2 - r^2) alanlı halka oluşturur; RR ve rr eksenden bölgenin uzak ve yakın kenarlarına ölçülür. r=0r = 0 olduğunda halka disktir. Eksene paralel, ρ\rho uzaklıkta hh uzunluğundaki şerit, 2πρh2\pi\rho h alanlı silindir oluşturur. Görünüm altındaki grafik bu alanı şeridin konumuna göre çizer: eğri altındaki alan hacimdir; şeride kadar olan sarı kısım o ana kadar toplanan hacimdir.

02

İki yol neden aynı hacmi verir?

  • Bölgenin eksenden ρ\rho uzaklıktaki küçük parçası 2πρ2\pi\rho uzunluklu çember izler. Eksene dik şerit, rr ile RR arasındaki her uzaklıkta parçalar içerir ve ∫rR2πρ dρ=π(R2−r2)\int_r^R 2\pi\rho\,d\rho = \pi(R^2-r^2) olur. Kesiti aç, halkanın her çemberini düzleştirir: aynı alanlı, farklı şekilli; paralel kenarları 2πr2\pi r ve 2πR2\pi R olan yamukta üst üste dizilirler.
  • Eksene paralel şeridin tüm parçaları aynı uzaklıktadır; silindirin alanı 2πρh2\pi\rho h olur. Bir doğru boyunca kesilip açılınca 2πρ×h2\pi\rho \times h dikdörtgenidir. İki yöntem aynı parçaları iki sırayla toplar: iki farklı sırada alınan tek çift katlı integral.
  • Ağırlık merkezi (homojen levhanın kütle merkezi) eksenden ρˉ=1A∬Dρ dA\bar\rho = \frac{1}{A}\iint_D \rho\,dA uzaktadır; dolayısıyla V=2πρˉAV = 2\pi\bar\rho A (Pappus–Guldin). Ekseni dd daha uzaklaştırmak tam 2πdA2\pi d A ekler.
03

Yanlış yorumlanmaması gerekenler

  • Şerit ve kesiti kalınlıksız çizilir: burada hiçbir şey Δx\Delta x adımı değildir. Hacim ince parçalar toplamı değil, tam integraldir (sonlu kesitler Riemann toplamı sayfasındadır). Camdaki soluk çizgiler yalnızca şekli gösterir.
  • Halka alanı π(R−r)2\pi(R-r)^2 değil, πR2−πr2\pi R^2 - \pi r^2'dır. y=−1y = -1 çevresinde dış yarıçap f(x)f(x) değil, f(x)+1f(x)+1'tür.
  • Hacimler tamdır: her bölgenin alanı ve birinci momentleri kapalı biçimlidir; Pappus bunlardan hacmi verir. O ana kadar toplanan hacim sayısal hesaplanır ve ≈ ile işaretlenir. y=1/xy = 1/x altında ln⁡b\ln b alanı sınırsız büyürken π(1−1/b)\pi(1 - 1/b) hacmi π\pi altında kalır.
04

Kontroller

  • Şeridi görünümde veya grafikte herhangi yerde sürükleyin; taradığı kenarı eksen çevresinde sürükleyin. Ekseni sürükleyin: bölgeye değdiğinde durur, tam ve yarım sayılara tutunur (değer tuşları diğer tarafa koyar). Ön bölgenin düzlemine tam karşıdan bakar. Sunum modu tam ekran görünümü açar: ← → şeridi taşır, ↑ ↓ döndürür.
05

İlgili konular

Ek okumalar: Vikipedi: Solid of revolution (İngilizce); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.2 Determining Volumes by Slicing (İngilizce); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.3 Volumes of Revolution: Cylindrical Shells (İngilizce).