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Analysis · Rotationskörper

Rotationskörper

Ein Rotationskörper entsteht, wenn sich ein ebenes Flächengebiet einmal um eine Achse in seiner Ebene dreht. Ziehe einen dünnen Streifen: Quer zur Achse überstreicht er einen Kreisring, längs zur Achse einen Zylindermantel. Auf beiden Wegen ergeben die Teile aufsummiert dasselbe Volumen.

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Rotationskörper in dieser Visualisierung

Ein Rotationskörper entsteht, wenn sich ein ebenes Flächengebiet einmal um eine Gerade in seiner Ebene dreht, die Rotationsachse. Hier bleibt die Achse außerhalb des Gebiets, darf aber seinen Rand berühren. Sein Volumen wird auf zwei Arten aus dünnen Schichten zusammengesetzt: Quer zur Achse sind es Kreis- oder Ringscheiben (Scheibenmethode oder Ringscheibenmethode), längs zur Achse Zylinderschalen (Zylinderschalenmethode). Diese Seite zeigt sechs Flächengebiete an horizontalen und vertikalen Achsen, darunter einen Torus, einen Kegel und Gabriels Horn.

Ein Volumen, zwei Summationsreihenfolgen und die Guldinsche Regel
V=∫π(R2−r2)dx=∫2πρ h(ρ) dρ=∬Gebiet2πρ dA=2πρˉ AV = \int \pi\left(R^2 - r^2\right) dx = \int 2\pi\rho\, h(\rho)\, d\rho = \iint_{\text{Gebiet}} 2\pi\rho \, dA = 2\pi\bar\rho\, A

Der Streifen hat keine Dicke. Quer zur Achse überstreicht er einen Kreisring mit der Fläche π(R2−r2)\pi(R^2 - r^2); RR und rr werden von der Achse bis zum fernen beziehungsweise nahen Rand des Gebiets gemessen. Bei r=0r = 0 ist der Ring eine Kreisscheibe. Längs zur Achse überstreicht ein Streifen der Länge hh im Abstand ρ\rho einen Zylindermantel mit der Fläche 2πρh2\pi\rho h. Das Diagramm unter der Ansicht zeigt diese Fläche in Abhängigkeit von der Streifenposition: Die Fläche unter dem Graphen ist das Volumen, und der gelbe Teil bis zum Streifen ist das bisher aufsummierte Volumen.

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Warum beide Wege dasselbe Volumen ergeben

  • Ein kleines Stück des Flächengebiets im Abstand ρ\rho von der Achse durchläuft einen Kreis der Länge 2πρ2\pi\rho. Ein Streifen quer zur Achse enthält Stücke in jedem Abstand von rr bis RR, und es gilt ∫rR2πρ dρ=π(R2−r2)\int_r^R 2\pi\rho\,d\rho = \pi(R^2-r^2). Abwickeln begradigt jeden Kreis des Rings: Übereinandergeschichtet bilden sie ein Trapez mit den parallelen Seiten 2πr2\pi r und 2πR2\pi R — gleicher Flächeninhalt, andere Form.
  • In einem Streifen längs zur Achse haben alle Stücke denselben Abstand. Sein Zylindermantel hat daher die Fläche 2πρh2\pi\rho h; längs einer Linie aufgeschnitten und flach ausgelegt ist er ein Rechteck von 2πρ×h2\pi\rho \times h. Die beiden Methoden summieren dieselben Stücke in zwei Reihenfolgen: Es ist ein Doppelintegral, in der einen oder der anderen Reihenfolge ausgewertet.
  • Der Schwerpunkt (der Massenmittelpunkt einer gleichmäßig dichten Platte) hat den Abstand ρˉ=1A∬Dρ dA\bar\rho = \frac{1}{A}\iint_D \rho\,dA von der Achse, also gilt V=2πρˉAV = 2\pi\bar\rho A (Satz von Pappus–Guldin). Wird die Achse um dd weiter nach außen verschoben, wächst das Volumen um genau 2πdA2\pi d A.
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Nicht falsch lesen

  • Der Streifen und die von ihm erzeugte Fläche werden ohne Dicke gezeichnet: Hier gibt es keine Schrittweite Δx\Delta x, und das Volumen ist ein exaktes Integral, keine Summe endlich dicker Schichten (solche Schichten behandelt die Seite zur Riemannsumme). Die feinen Linien auf der gläsernen Oberfläche zeigen nur ihre Form.
  • Die Fläche eines Kreisrings ist πR2−πr2\pi R^2 - \pi r^2, nicht π(R−r)2\pi(R-r)^2. Bei einer Drehung um y=−1y = -1 beträgt der Außenradius f(x)+1f(x)+1, nicht f(x)f(x).
  • Die Volumina sind exakt: Der Flächeninhalt und die ersten Flächenmomente jedes Gebiets sind in geschlossener Form bekannt; daraus liefert die Guldinsche Regel das Volumen. Das bisher aufsummierte Volumen wird numerisch berechnet und mit ≈ markiert. Unter y=1/xy = 1/x wächst der Flächeninhalt ln⁡b\ln b unbeschränkt, während das Volumen π(1−1/b)\pi(1 - 1/b) unter π\pi bleibt.
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Bedienung

  • Ziehe den Streifen in der Ansicht oder an einer beliebigen Stelle im Diagramm; ziehe seinen rotierenden Rand um die Achse; ziehe die Achse, die am Flächengebiet anhält und bei ganzen und halben Zahlen einrastet (die Werttasten setzen sie auf die andere Seite). Vorne blickt senkrecht auf die Ebene des Flächengebiets. Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht: ← → verschieben den Streifen, ↑ ↓ drehen ihn.
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Verwandte Themen

Weiterführende Literatur: Wikipedia: Solid of revolution (Englisch); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.2 Determining Volumes by Slicing (Englisch); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.3 Volumes of Revolution: Cylindrical Shells (Englisch).