回転体

この可視化での回転体

どちらの方法でも同じ体積になる理由

• 軸から距離$\rho$にある領域の小片は、長さ$2\pi\rho$の円周を進みます。軸に垂直な線分には、距離$r$から$R$までの小片が含まれ、$\int_r^R 2\pi\rho\,d\rho = \pi(R^2-r^2)$が成り立ちます。回転面を展開すると、円環の各円周をまっすぐに伸ばします。それらを並べると、平行な辺の長さが$2\pi r$と$2\pi R$の台形になり、形は変わっても面積は同じです。
• 軸に平行な線分の各小片はすべて軸から同じ距離にあるため、円筒面の面積は$2\pi\rho h$です。1本の直線に沿って切り開くと、$2\pi\rho \times h$の長方形になります。2つの方法は同じ小片を異なる順序で足し上げています。つまり、同じ二重積分の積分順序を入れ替えたものです。
• 重心（一様な薄板の質量中心）と軸の距離は$\bar\rho = \frac{1}{A}\iint_D \rho\,dA$なので、$V = 2\pi\bar\rho A$です（パップス＝ギュルダンの定理）。軸をさらに$d$だけ遠ざけると、体積は正確に$2\pi d A$増えます。

読み違えやすいところ

• 線分とそれが描く面には厚みを付けていません。ここには刻み幅$\Delta x$はなく、体積は有限の薄片の和ではなく正確な積分です（有限の薄片はリーマン和のページで扱います）。透明な面の薄い線は、形を見せるためだけのものです。
• 円環の面積は$\pi R^2 - \pi r^2$であり、$\pi(R-r)^2$ではありません。$y = -1$のまわりに回すときの外半径は$f(x)+1$であり、$f(x)$ではありません。
• 体積は正確な値です。各領域の面積と面積一次モーメントは閉じた式で求まり、それらからパップスの定理で体積を計算します。途中まで積み重ねた体積は数値計算し、≈を付けます。$y = 1/x$の下の領域では、面積$\ln b$は際限なく増大しますが、体積$\pi(1 - 1/b)$は$\pi$未満にとどまります。

操作方法

• 3D表示の線分、またはグラフ上の任意の場所をドラッグすると線分が移動します。回転した先端をドラッグすると軸のまわりに回せます。軸もドラッグでき、領域の境界で止まり、整数と半整数に吸着します（値のキーで反対側に移せます）。正面は領域の平面をまっすぐ見る視点です。プレゼンテーションモードでは全画面表示となり、← →で線分を移動、↑ ↓で回転します。

関連項目