Solido di rotazione: visualizzazione interattiva

01

I solidi di rotazione in questa visualizzazione

Un solido di rotazione è il solido generato da un giro completo di una regione piana attorno a una retta nel suo piano, l’asse. Qui l’asse resta fuori dalla regione, pur potendone toccare il bordo. Il volume si ottiene sommando sezioni sottili, in due modi: quelle trasversali all’asse sono dischi o corone circolari (metodo dei dischi o delle corone circolari), quelle parallele sono gusci cilindrici (metodo dei gusci). Questa pagina mostra sei regioni attorno ad assi orizzontali e verticali, tra cui un toro, un cono e il corno di Gabriele.

Un volume, due ordini di somma e il teorema di Pappo

V = \int \pi\left(R^2 - r^2\right) dx = \int 2\pi\rho\, h(\rho)\, d\rho = \iint_{\text{regione}} 2\pi\rho \, dA = 2\pi\bar\rho\, A

La striscia non ha spessore. Trasversale all’asse, genera una corona di area $\pi(R^2 - r^2)$ , con $R$ e $r$ misurati dall’asse ai bordi lontano e vicino della regione; dove $r = 0$ , la corona è un disco. Parallela all’asse, a distanza $\rho$ , una striscia di lunghezza $h$ genera un cilindro di area $2\pi\rho h$ . Il grafico sotto la vista rappresenta quell’area in funzione della posizione della striscia: l’area sotto la curva è il volume e la parte gialla, fino alla striscia, è il volume accumulato fino a quel punto.

02

Perché i due modi danno lo stesso volume

Una piccola parte della regione a distanza $\rho$ dall’asse percorre una circonferenza di lunghezza $2\pi\rho$ . Una striscia trasversale contiene parti a ogni distanza da $r$ a $R$ e $\int_r^R 2\pi\rho\,d\rho = \pi(R^2-r^2)$ . Srotola la sezione raddrizza ogni circonferenza della corona: si impilano in un trapezio con basi $2\pi r$ e $2\pi R$ , della stessa area ma di forma diversa.
Una striscia parallela all’asse contiene parti tutte alla stessa distanza, quindi il suo cilindro ha area $2\pi\rho h$ ; tagliato lungo una retta e disteso, è un rettangolo $2\pi\rho \times h$ . I due metodi sommano le stesse parti in due ordini: sono un unico integrale doppio, calcolato nei due ordini possibili.
Il baricentro (il centro di massa di una lamina uniforme) è a distanza $\bar\rho = \frac{1}{A}\iint_D \rho\,dA$ dall’asse, quindi $V = 2\pi\bar\rho A$ (Pappo–Guldino). Allontanare l’asse di una distanza $d$ aggiunge esattamente $2\pi d A$ .

03

Equivoci da evitare

La striscia e la sua sezione sono disegnate senza spessore: qui nulla è un passo $\Delta x$ e il volume è un integrale esatto, non una somma di parti sottili (le sezioni finite sono nella pagina Somma di Riemann). Le linee tenui sul vetro mostrano solo la forma.
L’area di una corona è $\pi R^2 - \pi r^2$ , non $\pi(R-r)^2$ . Attorno a $y = -1$ , il raggio esterno è $f(x)+1$ , non $f(x)$ .
I volumi sono esatti: l’area e i momenti primi di ogni regione hanno forme chiuse e Pappo ne ricava il volume. Il volume accumulato fino al punto attuale viene calcolato numericamente e indicato con ≈. Sotto $y = 1/x$ , l’area $\ln b$ cresce senza limite mentre il volume $\pi(1 - 1/b)$ resta sotto $\pi$ .

04

Comandi

Trascina la striscia nella vista o in un punto qualsiasi del grafico; trascina il bordo generato attorno all’asse; trascina l’asse, che si ferma alla regione e si aggancia a interi e mezzi interi (i tasti valore lo portano dall’altro lato). Frontale guarda direttamente il piano della regione. Modalità presentazione apre una vista a schermo intero: ← → spostano la striscia, ↑ ↓ la ruotano.

05

Concetti collegati

D16Somma di Riemann
D18Teorema fondamentale del calcolo
E18Integrale doppioIn programma

Per approfondire: Wikipedia: Solid of revolution (Inglese); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.2 Determining Volumes by Slicing (Inglese); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.3 Volumes of Revolution: Cylindrical Shells (Inglese).