Solide de révolution : visualisation interactive

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Les solides de révolution dans cette visualisation

Un solide de révolution est le solide balayé lorsqu’une région plane fait un tour autour d’une droite de son plan, l’axe. Ici, l’axe reste extérieur à la région, mais peut en toucher le bord. Son volume est obtenu en additionnant de fines tranches, de deux façons : les tranches perpendiculaires à l’axe sont des disques ou des couronnes (méthode des disques ou des couronnes), celles parallèles sont des coquilles cylindriques (méthode des coquilles). Cette page montre six régions autour d’axes horizontaux et verticaux, dont un tore, un cône et la trompette de Gabriel.

Un volume, deux ordres de sommation et le théorème de Pappus

V = \int \pi\left(R^2 - r^2\right) dx = \int 2\pi\rho\, h(\rho)\, d\rho = \iint_{\text{région}} 2\pi\rho \, dA = 2\pi\bar\rho\, A

La bande n’a pas d’épaisseur. Perpendiculaire à l’axe, elle balaie une couronne d’aire $\pi(R^2 - r^2)$ , où $R$ et $r$ sont mesurés de l’axe aux bords éloigné et proche de la région ; lorsque $r = 0$ , la couronne est un disque. Parallèle à l’axe, à distance $\rho$ , une bande de longueur $h$ balaie un cylindre d’aire $2\pi\rho h$ . Le graphique sous la vue trace cette aire selon la position de la bande : l’aire sous la courbe est le volume, et la partie jaune, jusqu’à la bande, est le volume additionné jusqu’ici.

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Pourquoi les deux méthodes donnent le même volume

Un petit morceau de la région à distance $\rho$ de l’axe parcourt un cercle de longueur $2\pi\rho$ . Une bande perpendiculaire à l’axe contient des morceaux à toutes les distances de $r$ à $R$ , et $\int_r^R 2\pi\rho\,d\rho = \pi(R^2-r^2)$ . Dérouler la tranche redresse chaque cercle de la couronne : ils s’empilent en un trapèze de côtés parallèles $2\pi r$ et $2\pi R$ , de même aire mais de forme différente.
Une bande parallèle à l’axe contient des morceaux tous à la même distance : son cylindre a donc pour aire $2\pi\rho h$ ; coupé le long d’une génératrice puis mis à plat, c’est un rectangle $2\pi\rho \times h$ . Les deux méthodes additionnent les mêmes morceaux dans deux ordres : c’est une seule intégrale double, calculée dans l’un ou l’autre ordre.
Le centre de gravité (centre de masse d’une feuille uniforme) est à distance $\bar\rho = \frac{1}{A}\iint_D \rho\,dA$ de l’axe, donc $V = 2\pi\bar\rho A$ (Pappus-Guldin). Éloigner l’axe d’une distance $d$ ajoute exactement $2\pi d A$ .

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Points à bien interpréter

La bande et sa tranche sont dessinées sans épaisseur : rien ici n’est un pas $\Delta x$ , et le volume est une intégrale exacte, pas une somme de morceaux fins (les tranches finies sont sur la page des sommes de Riemann). Les lignes discrètes sur la surface transparente n’en montrent que la forme.
L’aire d’une couronne vaut $\pi R^2 - \pi r^2$ , pas $\pi(R-r)^2$ . Autour de $y = -1$ , le rayon extérieur est $f(x)+1$ , pas $f(x)$ .
Les volumes sont exacts : l’aire et les moments d’ordre un de chaque région ont des formes explicites, et Pappus en déduit le volume. Le volume additionné jusqu’ici est calculé numériquement et marqué ≈. Sous $y = 1/x$ , l’aire $\ln b$ croît sans borne tandis que le volume $\pi(1 - 1/b)$ reste inférieur à $\pi$ .

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Commandes

Déplacez la bande dans la vue ou n’importe où sur le graphique ; tournez son bord balayé autour de l’axe ; déplacez l’axe, qui s’arrête à la région et s’aligne sur les entiers et les demi-entiers (les touches de valeur le placent de l’autre côté). Face regarde perpendiculairement au plan de la région. Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran : ← → déplacent la bande, ↑ ↓ la tournent.

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Voir aussi

D16Somme de Riemann
D18Théorème fondamental de l’analyse
E18Intégrale doubleÀ venir

Pour aller plus loin: Wikipédia: Solid of revolution (Anglais); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.2 Determining Volumes by Slicing (Anglais); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.3 Volumes of Revolution: Cylindrical Shells (Anglais).