Math

Математический анализ · Тело вращения

Тело вращения

Тело вращения получается при полном обороте плоской области вокруг оси в её плоскости. Перемещайте тонкую полоску: поперёк оси она даёт кольцо, вдоль — цилиндр; в обоих случаях части складываются в один и тот же объём.

01

Тела вращения в этой визуализации

Тело вращения получается при полном обороте плоской области вокруг прямой в её плоскости — оси. Здесь ось остаётся вне области, но может касаться границы. Объём складывается из тонких слоёв двумя способами: поперёк оси это диски или кольца (метод дисков или метод колец), вдоль — цилиндрические оболочки (метод оболочек). Страница показывает шесть областей при вращении вокруг горизонтальных и вертикальных осей, включая тор, конус и рог Гавриила.

Один объём, два порядка суммирования и теорема Паппа
V=∫π(R2−r2)dx=∫2πρ h(ρ) dρ=∬область2πρ dA=2πρˉ AV = \int \pi\left(R^2 - r^2\right) dx = \int 2\pi\rho\, h(\rho)\, d\rho = \iint_{\text{область}} 2\pi\rho \, dA = 2\pi\bar\rho\, A

Полоска не имеет толщины. Поперёк оси она при вращении даёт кольцо площади π(R2−r2)\pi(R^2 - r^2), где RR и rr измеряются от оси до дальней и ближней границ области; при r=0r = 0 кольцо становится кругом. Вдоль оси, на расстоянии ρ\rho, полоска длины hh даёт цилиндрическую поверхность площади 2πρh2\pi\rho h. График под видом показывает зависимость этой площади от положения полоски: площадь под кривой равна объёму, а жёлтая часть до полоски — уже накопленному объёму.

02

Почему оба способа дают один объём

  • Малый кусочек области на расстоянии ρ\rho от оси проходит окружность длины 2πρ2\pi\rho. Полоска поперёк оси содержит кусочки на всех расстояниях от rr до RR, и ∫rR2πρ dρ=π(R2−r2)\int_r^R 2\pi\rho\,d\rho = \pi(R^2-r^2). Кнопка «Развернуть сечение» выпрямляет каждую окружность кольца: они складываются в трапецию с параллельными сторонами 2πr2\pi r и 2πR2\pi R — той же площади, но другой формы.
  • Все кусочки полоски вдоль оси находятся на одном расстоянии, поэтому её цилиндрическая поверхность имеет площадь 2πρh2\pi\rho h; если разрезать её вдоль образующей и развернуть, получится прямоугольник 2πρ×h2\pi\rho \times h. Два метода складывают одни и те же кусочки в разном порядке: это один двойной интеграл с двумя порядками интегрирования.
  • Центр тяжести (центр масс однородной пластины) находится на расстоянии ρˉ=1A∬Dρ dA\bar\rho = \frac{1}{A}\iint_D \rho\,dA от оси, поэтому V=2πρˉAV = 2\pi\bar\rho A (теорема Паппа — Гульдина). Удаление оси ещё на dd добавляет ровно 2πdA2\pi d A.
03

Что не следует путать

  • Полоска и её сечение изображены без толщины: здесь нет шага Δx\Delta x, а объём — точный интеграл, а не сумма тонких частей (слои конечной толщины показаны на странице суммы Римана). Бледные линии на стекле лишь обозначают форму.
  • Площадь кольца равна πR2−πr2\pi R^2 - \pi r^2, а не π(R−r)2\pi(R-r)^2. При вращении вокруг y=−1y = -1 внешний радиус равен f(x)+1f(x)+1, а не f(x)f(x).
  • Объёмы точные: площадь и статические моменты каждой области выражаются в явном виде, а теорема Паппа даёт по ним объём. Уже накопленный объём вычисляется численно и отмечен знаком ≈. Под y=1/xy = 1/x площадь ln⁡b\ln b неограниченно растёт, а объём π(1−1/b)\pi(1 - 1/b) остаётся меньше π\pi.
04

Управление

  • Перетаскивайте полоску на объёмном изображении или в любом месте графика; вращайте её край вокруг оси; двигайте ось — она останавливается у области и привязывается к целым и полуцелым значениям (клавиши значений переносят её на другую сторону). Кнопка «Спереди» направляет взгляд прямо на плоскость области. Режим презентации открывает полноэкранный вид: ← → двигают полоску, ↑ ↓ вращают её.
05

Связанные темы

Дополнительные материалы: Википедия: Solid of revolution (Английский); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.2 Determining Volumes by Slicing (Английский); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.3 Volumes of Revolution: Cylindrical Shells (Английский).