회전체

이 시각화의 회전체

두 방법의 부피가 같은 이유

• 축에서 거리 $\rho$에 있는 영역의 작은 조각은 길이 $2\pi\rho$인 원을 따라 움직입니다. 축에 수직인 띠에는 $r$부터 $R$까지 모든 거리에 조각이 있으며, $\int_r^R 2\pi\rho\,d\rho = \pi(R^2-r^2)$입니다. 단면 펼치기는 고리의 각 원을 곧게 폅니다. 이들을 쌓으면 평행한 두 변이 $2\pi r$, $2\pi R$인 사다리꼴이 되며, 넓이는 같지만 모양은 다릅니다.
• 축에 평행한 띠의 조각들은 모두 같은 거리에 있으므로 원기둥 옆넓이는 $2\pi\rho h$입니다. 한 선을 따라 잘라 펴면 $2\pi\rho \times h$인 직사각형이 됩니다. 두 방법은 같은 조각들을 다른 순서로 더합니다. 하나의 이중적분을 두 순서로 계산하는 것입니다.
• 도심(균일한 얇은 판의 질량중심)은 축에서 거리 $\bar\rho = \frac{1}{A}\iint_D \rho\,dA$에 있으므로 $V = 2\pi\bar\rho A$입니다(파푸스–굴딘 정리). 축을 $d$만큼 더 멀리 옮기면 부피가 정확히 $2\pi d A$만큼 늘어납니다.

오해하지 말아야 할 점

• 띠와 그 단면은 두께 없이 그립니다. 여기에 간격 $\Delta x$은 없으며, 부피는 유한한 얇은 조각의 합이 아닌 정확한 적분입니다(유한한 단면은 리만 합 페이지에서 다룹니다). 유리 표면의 희미한 선은 모양만 보여 줍니다.
• 고리의 넓이는 $\pi R^2 - \pi r^2$이며 $\pi(R-r)^2$이 아닙니다. $y = -1$ 둘레로 돌릴 때 바깥 반지름은 $f(x)+1$이며 $f(x)$가 아닙니다.
• 부피는 정확합니다. 각 영역의 넓이와 1차 모멘트를 닫힌 형태로 구한 뒤 파푸스 정리로 부피를 얻습니다. 지금까지 더한 부피는 수치 계산하며 ≈로 표시합니다. $y = 1/x$ 아래의 넓이 $\ln b$은 한없이 커지지만 부피 $\pi(1 - 1/b)$는 $\pi$보다 작게 유지됩니다.

조작 방법

• 보기 안의 띠나 그래프의 아무 곳을 드래그하세요. 쓸어 만든 가장자리를 축 둘레로 드래그할 수도 있습니다. 축은 영역에 닿으면 멈추며 정수와 반정수에 맞춰집니다(수치 버튼으로 반대편에 놓을 수 있습니다). 정면은 영역의 평면을 똑바로 바라봅니다. 발표 모드는 전체 화면을 엽니다. ← →로 띠를 옮기고 ↑ ↓로 돌립니다.

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