Sólido de revolução: visualização interativa

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Sólidos de revolução nesta visualização

Um sólido de revolução é o sólido gerado por uma volta completa de uma região plana em torno de uma reta no seu plano, o eixo. Aqui, o eixo fica fora da região, embora possa tocar a fronteira. O volume é obtido somando secções finas de duas formas: perpendiculares ao eixo, são discos ou anéis (método dos discos ou dos anéis); paralelas ao eixo, são cascas cilíndricas (método das cascas). Esta página mostra seis regiões em torno de eixos horizontais e verticais, incluindo um toro, um cone e a trombeta de Gabriel.

Um volume, duas ordens de soma e o teorema de Pappus

V = \int \pi\left(R^2 - r^2\right) dx = \int 2\pi\rho\, h(\rho)\, d\rho = \iint_{\text{região}} 2\pi\rho \, dA = 2\pi\bar\rho\, A

A faixa não tem espessura. Perpendicular ao eixo, gera um anel de área $\pi(R^2 - r^2)$ , com $R$ e $r$ medidos do eixo até aos bordos mais distante e mais próximo da região; quando $r = 0$ , o anel é um disco. Paralela ao eixo, à distância $\rho$ , uma faixa de comprimento $h$ gera um cilindro de área $2\pi\rho h$ . O gráfico por baixo da vista representa essa área em função da posição da faixa: a área sob a curva é o volume, e a parte amarela, até à faixa, é o volume acumulado até aí.

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Porque dão os dois métodos o mesmo volume

Uma pequena parte da região à distância $\rho$ do eixo percorre uma circunferência de comprimento $2\pi\rho$ . Uma faixa perpendicular ao eixo contém partes a todas as distâncias de $r$ a $R$ , e $\int_r^R 2\pi\rho\,d\rho = \pi(R^2-r^2)$ . Desenrolar a secção estica cada circunferência do anel: empilhadas, formam um trapézio com lados paralelos $2\pi r$ e $2\pi R$ , com a mesma área mas outra forma.
Uma faixa paralela ao eixo contém partes todas à mesma distância, pelo que o seu cilindro tem área $2\pi\rho h$ ; cortado ao longo de uma linha e estendido, forma um retângulo $2\pi\rho \times h$ . Os dois métodos somam as mesmas partes por ordens diferentes: são o mesmo integral duplo calculado em qualquer das duas ordens.
O centroide (o centro de massa de uma lâmina uniforme) está à distância $\bar\rho = \frac{1}{A}\iint_D \rho\,dA$ do eixo, pelo que $V = 2\pi\bar\rho A$ (Pappus–Guldin). Afastar o eixo mais uma distância $d$ acrescenta exatamente $2\pi d A$ .

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Cuidados na interpretação

A faixa e a respetiva secção são desenhadas sem espessura: nada aqui é um passo $\Delta x$ , e o volume é um integral exato, não uma soma de partes finas (as secções de espessura finita estão na página das somas de Riemann). As linhas ténues no vidro mostram apenas a forma.
A área de um anel é $\pi R^2 - \pi r^2$ , não $\pi(R-r)^2$ . Em torno de $y = -1$ , o raio exterior é $f(x)+1$ , não $f(x)$ .
Os volumes são exatos: a área e os momentos de primeira ordem de cada região têm expressões em forma fechada, e o teorema de Pappus dá o volume a partir deles. O volume acumulado até à faixa é calculado numericamente e assinalado com ≈. Sob $y = 1/x$ , a área $\ln b$ cresce sem limite, enquanto o volume $\pi(1 - 1/b)$ se mantém abaixo de $\pi$ .

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Controlos

Arraste a faixa na vista ou em qualquer ponto do gráfico; arraste o bordo que ela gera em torno do eixo; arraste o eixo, que para ao tocar a região e encaixa em inteiros e meios inteiros (as teclas de valores colocam-no do outro lado). Frente olha diretamente para o plano da região. O modo de apresentação abre uma vista em ecrã inteiro: ← → movem a faixa, ↑ ↓ rodam-na.

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Relacionados

D16Soma de Riemann
D18Teorema fundamental do cálculo
E18Integral duploPrevisto

Para saber mais: Wikipédia: Solid of revolution (Inglês); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.2 Determining Volumes by Slicing (Inglês); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.3 Volumes of Revolution: Cylindrical Shells (Inglês).