旋轉體

這個視覺化中的旋轉體

兩種方法為何得到相同體積

• 區域中距旋轉軸 $\rho$ 的一小片，繞行的圓周長為 $2\pi\rho$。垂直於軸的細條包含距離從 $r$ 到 $R$ 的小片，並且 $\int_r^R 2\pi\rho\,d\rho = \pi(R^2-r^2)$。展開切片把圓環中的每個圓拉直：它們堆成平行邊長為 $2\pi r$ 與 $2\pi R$ 的梯形，面積相同，形狀不同。
• 平行於軸的細條包含的小片都與軸等距，因此圓柱面面積為 $2\pi\rho h$；沿一條直線剪開、攤平後，是 $2\pi\rho \times h$ 的長方形。兩種方法以不同順序累加相同的小片：本質上是同一個二重積分，交換積分順序。
• 質心（均勻薄片的質量中心）與軸的距離為 $\bar\rho = \frac{1}{A}\iint_D \rho\,dA$，因此 $V = 2\pi\bar\rho A$（帕普斯–古爾丁定理）。把軸再移遠 $d$，體積恰好增加 $2\pi d A$。

別誤解的地方

• 細條與切片都以零厚度畫出：這裡沒有任何有限步長 $\Delta x$，體積是精確積分，不是有限薄片之和（有限切片見黎曼和頁）。玻璃上的淡線只用來顯示形狀。
• 圓環面積是 $\pi R^2 - \pi r^2$，不是 $\pi(R-r)^2$。繞 $y = -1$ 旋轉時，外半徑是 $f(x)+1$，不是 $f(x)$。
• 體積是精確值：各區域的面積與一次矩都有閉式公式，再由帕普斯定理求出體積。目前累加至細條位置的體積則使用數值計算，標示 ≈。在 $y = 1/x$ 下方，面積 $\ln b$ 無界增長，但體積 $\pi(1 - 1/b)$ 始終小於 $\pi$。

操作方式

• 拖曳視圖中的細條，或面積圖上的任意位置；繞軸拖曳掃出的邊；也可拖曳旋轉軸，它會在區域邊界停住，並吸附到整數與半整數（數值按鍵可將它移到另一側）。正面正對區域所在平面。簡報模式開啟全螢幕畫面：← → 移動細條，↑ ↓ 轉動細條。

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