Sólido de revolución: visualización interactiva

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Los sólidos de revolución en esta visualización

Un sólido de revolución es el sólido barrido cuando una región plana da una vuelta alrededor de una recta de su plano, el eje. Aquí el eje permanece fuera de la región, aunque puede tocar su frontera. Su volumen se acumula mediante secciones delgadas de dos maneras: las perpendiculares al eje son discos o arandelas (el método de discos o de arandelas); las paralelas son capas cilíndricas (el método de capas cilíndricas). Esta página muestra seis regiones alrededor de ejes horizontales y verticales, incluidos un toro, un cono y la trompeta de Gabriel.

Un volumen, dos órdenes de suma y el teorema de Pappus

V = \int \pi\left(R^2 - r^2\right) dx = \int 2\pi\rho\, h(\rho)\, d\rho = \iint_{\text{región}} 2\pi\rho \, dA = 2\pi\bar\rho\, A

La franja no tiene grosor. Perpendicular al eje, barre un anillo de área $\pi(R^2 - r^2)$ , con $R$ y $r$ medidos desde el eje hasta los bordes lejano y cercano de la región; donde $r = 0$ , el anillo es un disco. Paralela al eje, a distancia $\rho$ , una franja de longitud $h$ barre un cilindro de área $2\pi\rho h$ . La gráfica bajo la vista representa esa área frente a la posición de la franja: el área bajo la curva es el volumen, y la parte amarilla, hasta la franja, es el volumen acumulado hasta ahora.

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Por qué ambos métodos dan el mismo volumen

Una pequeña parte de la región a distancia $\rho$ del eje recorre una circunferencia de longitud $2\pi\rho$ . Una franja perpendicular al eje contiene partes a todas las distancias de $r$ a $R$ , y $\int_r^R 2\pi\rho\,d\rho = \pi(R^2-r^2)$ . Desenrollar sección endereza cada circunferencia del anillo: se apilan formando un trapecio de lados paralelos $2\pi r$ y $2\pi R$ , con la misma área pero distinta forma.
Una franja paralela al eje contiene partes todas a la misma distancia, así que su cilindro tiene área $2\pi\rho h$ ; al cortarlo por una generatriz y extenderlo, es un rectángulo $2\pi\rho \times h$ . Los dos métodos suman las mismas partes en dos órdenes: son una única integral doble tomada en cualquiera de los dos órdenes.
El centroide (centro de masa de una lámina uniforme) está a distancia $\bar\rho = \frac{1}{A}\iint_D \rho\,dA$ del eje, así que $V = 2\pi\bar\rho A$ (Pappus–Guldin). Alejar el eje una distancia $d$ añade exactamente $2\pi d A$ .

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Qué no conviene confundir

La franja y su sección se dibujan sin grosor: nada aquí es un paso $\Delta x$ , y el volumen es una integral exacta, no una suma de piezas delgadas (las secciones finitas están en la página de sumas de Riemann). Las líneas tenues del cristal solo muestran su forma.
El área de un anillo es $\pi R^2 - \pi r^2$ , no $\pi(R-r)^2$ . Al girar alrededor de $y = -1$ , el radio exterior es $f(x)+1$ , no $f(x)$ .
Los volúmenes son exactos: el área y los primeros momentos de cada región tienen fórmulas cerradas y Pappus da el volumen a partir de ellos. El volumen acumulado hasta ahora se calcula numéricamente y se indica con ≈. Bajo $y = 1/x$ , el área $\ln b$ crece sin límite mientras el volumen $\pi(1 - 1/b)$ permanece por debajo de $\pi$ .

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Controles

Arrastra la franja en la vista o en cualquier lugar de la gráfica; arrastra su borde barrido alrededor del eje; arrastra el eje, que se detiene en la región y se ajusta a enteros y medios (las teclas de valor lo colocan al otro lado). Frontal mira de frente al plano de la región. Modo presentación abre una vista a pantalla completa: ← → mueven la franja y ↑ ↓ la giran.

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Conceptos relacionados

D16Suma de Riemann
D18Teorema fundamental del cálculo
E18Integral doblePrevisto

Para saber más: Wikipedia: Solid of revolution (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.2 Determining Volumes by Slicing (Inglés); OpenStax, Calculus Volume 1, 6.3 Volumes of Revolution: Cylindrical Shells (Inglés).