Section conique : visualisation interactive

Les coniques dans cette visualisation

Une section conique (ou conique) est la courbe d’intersection d’un plan et d’un cône à deux nappes : deux cônes réunis par leur pointe, le sommet, autour d’un même axe, et se prolongeant à l’infini dans les deux sens. Le demi-angle $\alpha$ du cône est l’angle entre l’axe et ses génératrices ; le plan fait un angle $\beta$ avec l’axe (de $0^\circ$ , parallèle à l’axe, à $90^\circ$ , perpendiculaire à celui-ci) et se trouve à une distance $d$ du sommet. Toute section est un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole ; lorsque le plan passe par le sommet, c’est un point, une droite ou deux droites.

Un nombre détermine le type de courbe

e = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha} \qquad \beta > \alpha:\ e < 1 \qquad \beta = \alpha:\ e = 1 \qquad \beta < \alpha:\ e > 1

Diminuez l’angle du plan à partir de $90^\circ$ . Le cercle ( $e = 0$ ) devient une ellipse de plus en plus longue ; quand le plan est parallèle à une génératrice du cône ( $\beta = \alpha$ ), l’extrémité éloignée est partie à l’infini et la courbe est une parabole ; tournez encore un peu et le plan atteint aussi l’autre nappe, d’où arrive une seconde branche depuis l’infini : une hyperbole. La fenêtre Vraie grandeur montre la section de face à échelle fixe, avec son extrémité proche, le point le plus proche du sommet du cône, maintenue en place : on voit ainsi l’extrémité éloignée sortir de la fenêtre. Le type de courbe est déterminé à partir des angles exactement tels qu’ils sont saisis : $\beta = 30.01^\circ$ face à $\alpha = 30^\circ$ donne une ellipse avec $e \approx 0.9999$ , pas une parabole.

D’où viennent les foyers

Les sphères de Dandelin sont placées à l’intérieur du cône ; chacune touche le cône le long d’un cercle et le plan en un point : ces points sont les foyers $F_1$ et $F_2$ . Depuis un point $P$ de la courbe, les segments tangents à une même sphère ont la même longueur : $PF_1$ est donc la distance, le long de la génératrice passant par $P$ , au premier cercle de contact, et $PF_2$ la distance au second.
Pour une ellipse, les deux sphères se trouvent dans la même nappe et $P$ est entre les cercles : $PF_1 + PF_2$ est donc la longueur de génératrice qui les sépare, identique pour tout $P$ : $2a$ . Pour une hyperbole, les sphères sont dans des nappes opposées et $|PF_1 - PF_2| = 2a$ . Une parabole ne laisse place qu’à une sphère.
Une directrice est la droite d’intersection du plan de coupe et du plan d’un cercle de contact. Les distances de $P$ au foyer et à la directrice gardent le même rapport, $PF_1 / PD_1 = e$ ; pour la parabole, elles sont égales. Le cercle n’a pas de directrice : les deux plans sont parallèles.

Points à bien interpréter

La perspective fait paraître un cercle elliptique dans la vue 3D ; la fenêtre en vraie grandeur, ou Voir la section de face, montre sa forme réelle. L’échelle de la fenêtre ne change jamais automatiquement : les nombres en dessous indiquent où se trouvent l’extrémité éloignée ou l’autre branche.
Le cône n’est dessiné qu’au voisinage du sommet et s’estompe aux extrémités ; il se prolonge à l’infini. Une ellipse allongée reste fermée, aussi éloignée que soit son extrémité, et une parabole n’est pas une demi-ellipse : elle n’a aucune extrémité éloignée.
Le type de courbe et la relation entre $\beta$ et $\alpha$ sont exacts ; $e$ , les longueurs et les distances sont calculés et marqués ≈. La transparence, les lignes discrètes et l’estompage ne servent qu’à l’affichage.

Commandes

Tournez $\beta$ avec son bouton ou faites glisser la poignée bleue du plan ; elle s’aligne sur $\alpha$ et $90^\circ$ . La roue déplace le plan ; $d = 0$ le fait passer par le sommet. Les angles peuvent être saisis en degrés ou comme multiples de π. Lorsque les sphères ou les directrices sont affichées, faites glisser $P$ le long de la courbe. Le Mode présentation ouvre une vue en plein écran : ← → tournent le plan, ↑ ↓ le déplacent.

Voir aussi

Pour aller plus loin: Wikipédia: Conic section (Anglais); Wikipédia: Dandelin spheres (Anglais); OpenStax, Precalculus 2e, 10.5 Conic Sections in Polar Coordinates (Anglais).