圓錐曲線：互動式視覺化

本頁中的圓錐曲線

圓錐曲線（亦稱二次曲線）是平面與雙圓錐相交的曲線：兩個圓錐在尖端，也就是錐頂相接，繞同一條軸向兩個方向無限延伸。圓錐的半頂角 $\alpha$ 是軸與母線的夾角；平面與軸的夾角為 $\beta$ （從平行於軸的 $0^\circ$ ，到垂直於軸的 $90^\circ$ ），距錐頂 $d$ 。截面不是圓、橢圓、拋物線，就是雙曲線；平面通過錐頂時，則是一個點、一條直線或兩條直線。

一個數決定曲線類型

e = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha} \qquad \beta > \alpha:\ e < 1 \qquad \beta = \alpha:\ e = 1 \qquad \beta < \alpha:\ e > 1

從 $90^\circ$ 開始往下轉動平面。圓（ $e = 0$ ）變成越來越長的橢圓；當平面恰好平行於圓錐母線（ $\beta = \alpha$ ）時，遠端到達無窮遠，曲線成為拋物線；再轉一點，平面也碰到另一半圓錐，第二條分支從無窮遠出現：雙曲線。真實形狀視窗以固定比例正對截面，並固定最靠近錐頂的近端，因此可看到遠端向視窗外延伸。曲線類型依輸入的精確角度判定： $\beta = 30.01^\circ$ 對 $\alpha = 30^\circ$ 是離心率 $e \approx 0.9999$ 的橢圓，不是拋物線。

焦點從哪裡來

丹德林球放在圓錐內，每顆球沿一個圓與圓錐相切，並在一點與平面相切：這些點就是焦點 $F_1$ 與 $F_2$ 。從曲線上的 $P$ 點向同一顆球作切線，各切線段等長，因此 $PF_1$ 等於沿通過 $P$ 的母線到第一個切圓的距離， $PF_2$ 則等於到第二個切圓的距離。
橢圓的兩顆球位於同一半圓錐， $P$ 介於兩個切圓之間，因此 $PF_1 + PF_2$ 是兩圓之間的母線長，對每個 $P$ 都相同： $2a$ 。雙曲線的兩顆球位於相反的圓錐，且 $|PF_1 - PF_2| = 2a$ 。拋物線只容得下一顆球。
準線是截平面與切圓所在平面的交線。 $P$ 到焦點與準線的距離，始終保持相同比值 $PF_1 / PD_1 = e$ ；對拋物線，兩距離相等。圓沒有準線：兩個平面平行。

別誤解的地方

透視會使 3D 畫面中的圓看起來像橢圓；真實形狀視窗或正對截面可顯示實際形狀。視窗不會自行改變比例：下方數字告訴你遠端或另一分支的位置。
圓錐只畫出錐頂附近的部分，兩端逐漸淡出；實際上它無限延伸。再長的橢圓仍是封閉的，無論遠端多遠；拋物線也不是半個橢圓，它根本沒有遠端。
曲線類型及 $\beta$ 與 $\alpha$ 的關係是精確的； $e$ 、長度與距離則經計算並標示 ≈。玻璃、淡線與淡出效果只是呈現方式。

操作方式

用旋鈕轉動 $\beta$ ，或拖曳平面上的藍色把手；它會吸附到 $\alpha$ 與 $90^\circ$ 。微調輪移動平面； $d = 0$ 使它通過錐頂。角度可輸入度數或 π 的倍數。顯示球或準線時，可沿曲線拖曳 $P$ 。簡報模式開啟全螢幕畫面：← → 轉動平面，↑ ↓ 移動平面。

本頁中的圓錐曲線

焦點從哪裡來

別誤解的地方

操作方式

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