この図で見る円錐曲線
円錐曲線（二次曲線）は、平面と二重円錐が交わる曲線です。二重円錐とは、2つの円錐が先端である頂点でつながり、1本の軸の周りに両方向へ無限に伸びるものです。円錐の半頂角 は軸と母線のなす角です。平面は軸と角 をなし（軸に平行な から垂直な まで）、頂点からの距離は です。断面は円、楕円、放物線、双曲線のいずれかで、平面が頂点を通る場合は1点、1直線、2直線のいずれかになります。
平面の角を から小さくしていきます。円（）は次第に長い楕円になり、平面が母線に平行になる瞬間（）、遠い端が無限遠へ去って放物線になります。さらに回すともう一方の円錐にも届き、第2の枝が無限遠から現れて双曲線になります。実形の窓は断面を正面から一定の縮尺で示し、頂点に最も近い端の位置を固定するため、遠い端が窓から出ていく様子を見られます。曲線の種類は入力された角度の厳密な値で判定します。 に対して なら、 の楕円であり、放物線ではありません。
焦点が生まれる仕組み
- ダンドランの球は円錐の内側にあり、それぞれ円錐とは円に沿って、平面とは1点で接します。その接点が焦点 、 です。曲線上の点 から同じ球に引いた接線の長さは等しいため、 は を通る母線に沿った第1の接触円までの距離に、 は第2の接触円までの距離に等しくなります。
- 楕円では2つの球が同じ円錐内にあり、 が接触円の間にあるため、 はその間の母線の長さです。どの でも同じ になります。双曲線では球が別々の円錐に入り、 です。放物線には球が1つだけ入ります。
- 準線は、切断平面と接触円を含む平面との交線です。 から焦点までと準線までの距離の比は に保たれます。放物線では2つの距離が等しくなります。円には準線がありません。2つの平面が平行だからです。
読み違えやすいところ
- 3D表示では遠近法により円が楕円に見えます。実形の窓か断面を正面から見るで、本来の形を確認できます。窓の縮尺は自動では変わりません。下の数値が遠い端やもう一方の枝の位置を示します。
- 円錐は頂点の近くだけを描き、端で薄くしていますが、実際には無限に続きます。楕円はどれほど遠くに端があっても閉じています。放物線は楕円の半分ではなく、遠い端そのものがありません。
- 曲線の種類と ・ の大小関係は厳密です。、長さ、距離は数値計算し、≈ を付けます。ガラス表現、薄い線、端のぼかしは表示上の演出です。
操作方法
- ノブで を変えるか、平面上の青いハンドルをドラッグします。 と に吸着します。ホイールで平面を動かし、 にすると頂点を通ります。角度は度数または π の倍数で入力できます。球や準線を表示した状態で、 を曲線に沿って動かせます。プレゼンテーションモードは全画面表示で、← → で平面を回転、↑ ↓ で移動します。