القطوع المخروطية: تصوّر تفاعلي

القطوع المخروطية في هذا التصوّر

القطع المخروطي (أو المخروطي) هو منحنى تقاطع مستوى مع مخروط مزدوج: مخروطان متصلان عند قمّتيهما، أي الرأس، حول محور واحد، ويمتدان بلا نهاية في الاتجاهين. نصف زاوية المخروط $\alpha$ هو الزاوية بين المحور ومولّداته؛ يصنع المستوى زاوية $\beta$ مع المحور (من $0^\circ$ ، موازيًا للمحور، إلى $90^\circ$ ، عموديًا عليه)، ويقع على بُعد $d$ من الرأس. كل قطع هو دائرة أو قطع ناقص أو مكافئ أو زائد، أو، حين يمرّ المستوى بالرأس، نقطة أو مستقيم واحد أو مستقيمان.

عدد واحد يحدّد نوع المنحنى

e = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha} \qquad \beta > \alpha:\ e < 1 \qquad \beta = \alpha:\ e = 1 \qquad \beta < \alpha:\ e > 1

أدر المستوى بدءًا من $90^\circ$ مع تقليل الزاوية. تصبح الدائرة ( $e = 0$ ) قطعًا ناقصًا يزداد طولًا؛ وفي اللحظة التي يوازي فيها المستوى أحد مولّدات المخروط ( $\beta = \alpha$ )، يكون الطرف البعيد قد ذهب إلى اللانهاية ويصبح المنحنى قطعًا مكافئًا؛ أدره أكثر قليلًا فيصل المستوى إلى المخروط الآخر أيضًا، حيث يأتي فرع ثانٍ من اللانهاية: قطع زائد. تعرض نافذة الشكل الحقيقي القطع عموديًا على مستواه وبمقياس ثابت، مع تثبيت طرفه القريب، أي النقطة الأقرب إلى الرأس، فتشاهد الطرف البعيد يخرج من النافذة. يُحدَّد نوع المنحنى من الزوايا كما أُدخلت بدقة: $\beta = 30.01^\circ$ مع $\alpha = 30^\circ$ تعطي قطعًا ناقصًا له $e \approx 0.9999$ ، لا قطعًا مكافئًا.

من أين تأتي البؤرتان؟

تقع كرتا داندلان داخل المخروط، وتمسّ كل منهما المخروط على دائرة والمستوى عند نقطة واحدة: هاتان النقطتان هما البؤرتان $F_1$ و $F_2$ . من نقطة $P$ على المنحنى، تتساوى أطوال قطَع المماس إلى الكرة نفسها، لذا يساوي $PF_1$ المسافة على مولّد المخروط المارّ بـ $P$ إلى دائرة التماس الأولى، و $PF_2$ المسافة إلى الثانية.
في القطع الناقص تقع الكرتان في المخروط نفسه وتقع $P$ بين الدائرتين، لذا فإن $PF_1 + PF_2$ هو طول المولّد بينهما، وهو ثابت لكل $P$ : $2a$ . وفي القطع الزائد تقع الكرتان في مخروطين متقابلين و $|PF_1 - PF_2| = 2a$ . أما القطع المكافئ فلا يتسع إلا لكرة واحدة.
الدليل هو مستقيم تقاطع المستوى القاطع مع مستوى إحدى دائرتي التماس. تبقى النسبة بين بُعد $P$ عن البؤرة وبُعدها عن الدليل ثابتة، $PF_1 / PD_1 = e$ ؛ وفي القطع المكافئ يتساوى البُعدان. ليس للدائرة دليل: فالمستويان متوازيان.

تجنّب هذه القراءات الخاطئة

يجعل المنظور الدائرة تبدو كقطع ناقص في العرض ثلاثي الأبعاد؛ وتُظهر نافذة الشكل الحقيقي أو واجه القطع شكلها الفعلي. لا يتغيّر مقياس النافذة تلقائيًا أبدًا: تبيّن الأعداد أسفلها موضع الطرف البعيد أو الفرع الآخر.
يُرسم المخروط قرب الرأس فقط ويتلاشى عند طرفيه؛ لكنه يمتد بلا نهاية. يظل القطع الناقص الطويل مغلقًا مهما ابتعد طرفه، والقطع المكافئ ليس نصف قطع ناقص: فليس له طرف بعيد أصلًا.
نوع المنحنى والعلاقة بين $\beta$ و $\alpha$ دقيقان؛ أما $e$ والأطوال والمسافات فتُحسب وتُميّز بعلامة ≈. المظهر الزجاجي والخطوط الباهتة والتلاشي وسائل للعرض فقط.

أدوات التحكم

غيّر $\beta$ بمقبضها أو اسحب المقبض الأزرق على المستوى؛ يستقر عند $\alpha$ و $90^\circ$ . تحرّك العجلة المستوى؛ وتجعل $d = 0$ المستوى يمرّ بالرأس. يمكن إدخال الزوايا بالدرجات أو كمضاعفات π. عند إظهار الكرات أو الأدلّة، اسحب $P$ على المنحنى. يفتح وضع العرض عرضًا بملء الشاشة: يدير ← → المستوى، ويحرّكه ↑ ↓.

موضوعات ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Conic section (الإنجليزية); ويكيبيديا: Dandelin spheres (الإنجليزية); OpenStax, Precalculus 2e, 10.5 Conic Sections in Polar Coordinates (الإنجليزية).