Kegelschnitt: Interaktive Visualisierung

Kegelschnitte in dieser Visualisierung

Ein Kegelschnitt (auch Kegelschnittkurve) ist die Schnittkurve einer Ebene mit einem Doppelkegel: zwei an ihren Spitzen zur gemeinsamen Spitze verbundene Kegel um eine Achse, die sich in beiden Richtungen unendlich fortsetzen. Der halbe Öffnungswinkel $\alpha$ des Kegels liegt zwischen Achse und Mantellinien. Die Ebene bildet mit der Achse den Winkel $\beta$ (von $0^\circ$ , parallel zur Achse, bis $90^\circ$ , senkrecht dazu) und hat den Abstand $d$ von der Spitze. Jeder Schnitt ist ein Kreis, eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel — oder, wenn die Ebene durch die Spitze geht, ein Punkt, eine Gerade oder zwei Geraden.

Eine Zahl bestimmt den Kurventyp

e = \frac{\cos\beta}{\cos\alpha} \qquad \beta > \alpha:\ e < 1 \qquad \beta = \alpha:\ e = 1 \qquad \beta < \alpha:\ e > 1

Drehe die Ebene ausgehend von $90^\circ$ . Der Kreis ( $e = 0$ ) wird zu einer immer längeren Ellipse. Sobald die Ebene parallel zu einer Mantellinie des Kegels ist ( $\beta = \alpha$ ), verschwindet das ferne Ende im Unendlichen: Die Kurve ist eine Parabel. Drehe weiter, und die Ebene erreicht auch den anderen Kegel. Ein zweiter Ast kommt aus dem Unendlichen hinzu: eine Hyperbel. Das Fenster Wahre Form zeigt den Schnitt senkrecht von vorn bei festem Maßstab. Das nahe Ende, der Punkt mit dem kleinsten Abstand zur Spitze, bleibt fest; so sieht man das ferne Ende aus dem Fenster wandern. Der Kurventyp wird aus den exakt eingegebenen Winkeln bestimmt: $\beta = 30.01^\circ$ bei $\alpha = 30^\circ$ ergibt eine Ellipse mit $e \approx 0.9999$ , keine Parabel.

Woher die Brennpunkte kommen

Dandelinsche Kugeln liegen im Kegel. Jede berührt den Kegel entlang eines Kreises und die Ebene in einem Punkt: Diese Punkte sind die Brennpunkte $F_1$ und $F_2$ . Von einem Kurvenpunkt $P$ aus sind alle Tangentenstrecken an dieselbe Kugel gleich lang. Deshalb ist $PF_1$ gleich dem Abstand entlang der Mantellinie durch $P$ zum ersten Berührkreis und $PF_2$ gleich dem Abstand zum zweiten.
Bei einer Ellipse liegen beide Kugeln im selben Kegel, und $P$ liegt zwischen den Berührkreisen. Deshalb ist $PF_1 + PF_2$ die Länge der Mantellinie zwischen ihnen, für jedes $P$ gleich: $2a$ . Bei einer Hyperbel liegen die Kugeln in entgegengesetzten Kegeln, und es gilt $|PF_1 - PF_2| = 2a$ . Bei einer Parabel ist nur Platz für eine Kugel.
Eine Leitlinie ist die Schnittgerade der Schnittebene mit der Ebene eines Berührkreises. Die Abstände von $P$ zum Brennpunkt und zur Leitlinie stehen stets im Verhältnis $PF_1 / PD_1 = e$ ; bei der Parabel sind sie gleich. Der Kreis hat keine Leitlinie: Die beiden Ebenen sind parallel.

Nicht falsch lesen

Durch die Perspektive sieht ein Kreis in der 3D-Ansicht wie eine Ellipse aus. Das Fenster „Wahre Form“ oder Senkrecht auf den Schnitt zeigt die tatsächliche Form. Der Maßstab des Fensters ändert sich nie von selbst; die Zahlen darunter geben an, wo das ferne Ende oder der andere Ast liegt.
Der Kegel wird nur nahe der Spitze gezeichnet und an seinen Enden ausgeblendet; tatsächlich reicht er unendlich weit. Eine lange Ellipse bleibt geschlossen, egal wie weit ihr Ende entfernt ist. Eine Parabel ist keine halbe Ellipse: Sie hat überhaupt kein fernes Ende.
Kurventyp und Verhältnis zwischen $\beta$ und $\alpha$ werden exakt bestimmt; $e$ , Längen und Abstände werden berechnet und mit ≈ gekennzeichnet. Glasoptik, feine Linien und Ausblenden dienen nur der Darstellung.

Bedienung

Drehe $\beta$ mit dem Drehknopf oder ziehe den blauen Griff auf der Ebene; er rastet bei $\alpha$ und $90^\circ$ ein. Das Ziffernrad verschiebt die Ebene; bei $d = 0$ geht sie durch die Spitze. Winkel lassen sich in Grad oder als Vielfache von π eingeben. Sind Kugeln oder Leitlinien eingeblendet, kannst du $P$ entlang der Kurve ziehen. Der Präsentationsmodus öffnet eine Vollbildansicht: ← → drehen die Ebene, ↑ ↓ verschieben sie.

Kegelschnitte in dieser Visualisierung

Woher die Brennpunkte kommen

Nicht falsch lesen

Bedienung

Verwandte Themen