二次関数

この図で見る二次関数

注目するところ

• 平方完成は平行移動に対応します。上の3段階で一般形を頂点形へ変え、$a(x - h)^2 + k$ は $y = ax^2$ を x 軸方向に $h$、縦方向に $k$ 移したものです。頂点形の $h$、$k$ を変えるか頂点をドラッグすると、$y = ax^2$ と2方向の移動を描きます。
• $\Delta > 0$：2つの実数解。$\Delta = 0$：1つの重解で、頂点が軸上。$\Delta < 0$：実数解なし。この場合、方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ には互いに共役な2つの複素数解があり、このグラフの点ではありません。
• $a$ は3つの形で同じ数で、放物線の幅と開く向きを決めます。$b$ だけを変えても単なる横移動にはならず、頂点は放物線 $y = c - ax^2$ 上を動きます。$a$ だけを変えたときに固定されるものは形ごとに異なります。一般形では $(0, c)$ とそこでの接線 $y = bx + c$ が固定され、すべての放物線がその点でその直線に接します。頂点は直線 $y = c + \tfrac{b}{2}x$ 上を動きます。頂点形では頂点が固定され、因数分解形では根が固定されて頂点が対称軸上を動きます。
• このページは厳密な分数で計算し、式には厳密な小数、分数、平方根を表示します。長すぎる数は丸め、その式には ≈ を付けます。投げ上げたボールの見どころ以外では両軸の尺度は同じで、異なる場合にはグラフに注記します。

操作方法

• モードダイヤルで操作する形を選びます。一般形では $a$、$b$、$c$ をノブで、頂点形では $a$ と頂点 $(h, k)$、因数分解形では $a$ と2つの根を微調整用ホイールで設定します。実数の根がないときは因数分解形を選べません。変換の詳細を開くと、教科書の公式とともに他の2つの形の値を確認できます。
• グラフ上の点をつかむと、対応する形に切り替わります。頂点をドラッグすると放物線全体が移動します。根は x 軸に沿って動き、$a$ ともう一方の根は固定されます（他方の根が無理数なら、先に小数第6位までに丸めます。見た目には分からない変化です。重解を動かすと放物線全体が横移動します）。y 切片は y 軸に沿って動き、$c$ だけが変わります。ほかの場所でドラッグすると表示範囲が移動します。数値をクリックすると、小数や3/4のような分数を入力できます。
• プレゼンテーションモードではプロジェクター向けの全画面表示になります。矢印キーで放物線を移動し、H で答えを隠します。操作中の形の数値だけが残り、他の2つの形と変換は疑問符になります。

関連項目